Existenz isoperimetrischer Gebiete in einer Klasse von unbeschränkten Mengen unter besonderer Berücksichtigung des Paraboloids

Abstract

Mein Ausgangspunkt war die isoperimetrische Eigenschaft der Kugel im Rn sowie Verallgemeinerungen dieser Eigenschaft auf andere Gebiete, speziell das Ergebnis von Benjamini und Cao für Flächen auf dem Rand des Paraboloids. Das Ziel war eine Verallgemeinerung ihres Resultats auf das ganze Paraboloid. Verschiedene Beispiele gaben erste Hinweise, in welchen Fällen überhaupt Lösungen des isoperimetrischen Problems zu erwarten sind. Nach einer Einführung des Begriffs geometrisch asymptotisch flach und dem der Volumenvergleichsbedingung konnte ich die Existenz einer Lösung des isoperimetrischen Problems in einer großen Klasse von Mengen beweisen, darunter auch für das Paraboloid. Die Regularitätstheorie konnte dann im Fall des Paraboloids gut weiterentwickelt werden, indem mit Hilfe einer isoperimetrischen Ungleichung die Beschränktheit gezeigt werden konnte. Was immer noch fehlt, ist die konkrete Form der isoperimetrischen Gebiete. Hier kann man eventuell eine Rotationssymmetrie vermuten. Dazu muss man aber die spezielle Geometrie des Paraboloids ausnutzen, da für allgemeine rotationssymmetrische Mengen eine isoperimetrische Menge nicht rotationssymmetrisch sein muss. In der Tat ist die Frage nach der konkreten Gestalt bei vielen Mengen noch ungeklärt.

My starting point was the isoperimetric property of the sphere in Rn and some abstractions on other sets, especially the results of Benjamini and Cao on the boundary of a paraboloid. The aim was to extend their result on the full paraboloid. Starting with some examples I tried to get the right properties for existence of isoperimetric domains. Two properties turned out to be very useful: geometric asymptotic flatness and a volume comparison condition. They are enough to prove the existence of solutions. Both conditions are fulfilled by the paraboloid. There's still a big open problem: the concrete shape of isoperimetric domains. In some way it seems to be okay to conjecture rotational symmetry, but there are counter-examples, if we have just existence of the solutions and rotational symmetry of the set.