Stochastic calculus for Lévy-driven Volterra processes

Abstract

In this thesis we investigate processes which arise from the convolution of a deterministic Volterra-type kernel with a two-sided martingale as an integrator. The class of processes of this kind is of special interest, because it contains for example the fractional Brownian motion, which has been intensely studied over the last years. We first give sufficient conditions for the convolution integral to exist in a suitable sense and show that under appropriate assumptions nice path properties of the driving process are carried over to the convoluted process. A special interest lies on the situation that the driver is a centred two-sided Levy process, in which case the resulting convoluted process is called a Levy-driven Volterra process. In particular, we are able to treat the case of fractional Levy processes (via Mandelbrot-Van Ness representation). The focus of this thesis is on proving a generalised Ito formula for Levy-driven Volterra processes. We emphasise that our generalised Ito formula is unifying in the sense that it covers the well-known Ito formulas for Levy processes and fractional Brownian motions as well as the case of fractional Levy processes, for which such a formula has not been available in the literature.

In dieser Arbeit untersuchen wir Prozesse, die durch die Faltung eines deterministischen Kerns vom Volterra-Typ mit einem zweiseitigen Martingal als Integrator entstehen. Die Klasse von Prozessen dieser Art ist von speziellem Interesse, da sie zum Beispiel die fraktionale Brownsche Bewegung, die in den letzten Jahren intensiv studiert wurde, enthält. Wir geben zuerst hinreichende Bedingun- gen dafür an, dass das Faltungsintegral in einem geeigneten Sinne existiert und zeigen, dass sich unter geeigneten Bedingungen schöne Pfadeigenschaften des treibenden Prozesses auf den gefalteten Prozess übertragen. Von speziellem Interesse ist die Situation, dass der treibende Prozess ein zentrierter zweiseitiger Levy-Prozess ist, in welchem Fall der resultierende gefaltete Prozess Levy-angetriebener Volterra-Prozess genannt wird. Insbesondere sind wir in der Lage, den Fall von fraktionalen Levy-Prozessen (in Mandelbrot-Van Ness-Darstellung) zu behandeln. Das Hauptaugenmerk dieser Arbeit liegt auf dem Beweis einer verallgemeinerten Ito-Formel für Levy-angetriebene Volterra-Prozesse. Wir betonen, dass unsere Formel vereinheitlichend ist in dem Sinn, dass sie die bekannten Ito-Formeln für Levy-Prozesse und fraktionale Brownsche Bewegungen ebenso wie für fraktionale Levy-Prozesse, für die eine solche Formel bisher nicht bekannt war, abdeckt.