Non-commutative generalization of some probabilistic results from representation theory

Abstract

The subject of this thesis is the non-commutative generalization of some probabilistic results that occur in representation theory. The results of the thesis are divided into three different parts. In the first part of the thesis, we classify all unitary easy quantum groups whose intertwiner spaces are described by non-crossing partitions, and develop the Weingarten calculus on these quantum groups. As an application of the previous work, we recover the results of Diaconis and Shahshahani on the unitary group and extend those results to the free unitary group. In the second part of the thesis, we study the free wreath product. First, we study the free wreath product with the free symmetric group by giving a description of the intertwiner spaces: several probabilistic results are deduced from this description. Then, we relate the intertwiner spaces of a free wreath product with the free product of planar algebras, an object which has been defined by Bisch and Jones in 1999. This relation allows us to prove the conjecture of Banica and Bichon. In the last part of the thesis, we prove that the minimal and the Martin boundaries of a graph introduced by Gnedin and Olshanski are the same. In order to prove this, we give some precise estimates on the uniform standard filling of a large ribbon Young diagram. This yields a positive answer to the conjecture that Bender, Helton and Richmond gave in 2004.

In dieser Dissertation widme ich mich der nicht-kommutativen Verallgemeinerung probabilistischer Ergebnisse aus der Darstellungstheorie. Die Dissertation besteht aus einer Einleitung und drei Teilen, die jeweils separate Veröffentlichungen darstellen. In dem ersten Teil der Dissertation wird der Begriff von easy Quantengruppe im unitären Fall untersucht. Es wird eine Klassifikation aller unitären easy Quantengruppen in dem klassischen und freien unitären Fall gegeben. Des weiteren werden die probabilistischen Ergebnisse von Banica, Curran and Speicher auf den unitären Fall ausgedehnt. In dem zweiten Teil der Dissertation widme ich mich zunächst dem freien Kranzprodukt einer kompakten Quantengruppe mit der freien symmetrischen Gruppe. Die Darstellungstheorie solcher Kranzprodukte wird beschrieben, und verschiedene probabilistische Ergebnisse werden aus dieser Beschreibung gezogen. Dann wird eine Beziehung zwischen freien Kranzprodukten und planaren Algebren hergestellt, die zu dem Beweis einer Vermutung von Banica und Bichon führt. In dem dritten Teil dieser Dissertation wird der Graph Z der Multiplikation der fundamentalen quasi-symmetrischen Basis untergesucht. Der minimale Rand dieses Graphs wurde schon von Gnedin und Olshanski identifiziert. Wir beweisen jedoch, dass der minimale Rand und der Martin-Rand gleich sind. Als Nebenprodukt des Beweises erhalten wir mehrere asymptotische kombinatorische Ergebnisse bezüglich großer Ribbon-Young-Tableaus.