Regularity aspects of a higher-order variational approach to the denoising and inpainting of images with TV-type energies

Abstract

This thesis deals with a certain class of variational problems of higher order that stem from applications in mathematical image processing. The main intention is to study the regularity behavior of minimizers of integral functionals on Sobolev spaces with differentiable energy densities of linear growth approximating the TV-case. Building upon results that were given by Bildhauer, Fuchs, Tietz and Weickert in the first-order case, we treat existence of weakly differentiable, relaxed, dual as well as of classically differentiable solutions under suitable conditions on the model. Our considerations are supplemented with a detailed study of the lower-dimensional cases as well as with a coupling model which offers an alternative approach to the higher-order case.

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit einer bestimmten Klasse von Variationsproblemen höherer Ordnung, die von Anwendungen in der mathematischen Bildverarbeitung herrühren. Das Hauptaugenmerk liegt dabei auf der Untersuchung des Regularitätsverhaltens der Minimierer von Integral-Funktionalen auf Sobolev-Räumen mit differenzierbaren Energiedichten von linearem Wachstum, die den TV-Fall approximieren. Aufbauend auf Resultaten, die von Bildhauer, Fuchs, Tietz und Weickert im Falle erster Ordnung erbracht wurden, behandeln wir die Existenz von schwach differenzierbaren, relaxierten, dualen sowie von klassisch differenzierbaren Lösungen unter jeweils hinreichenden Voraussetzungen an das Modell. Unsere Betrachtungen werden ergänzt durch eine eingehendere Analyse der niederdimensionalen Fälle sowie eines Kopplungsmodells, das einen alternativen Zugang zum Fall höherer Ordnung bietet.