Unirationality of moduli spaces of curves with pencils

Abstract

The main subject of this thesis is the study of the unirationality of moduli spaces of smooth curves admitting several pencils. Using liaison techniques, we prove that the Hurwitz scheme Hg;d, parameterizing d-sheeted simply branched covers of the projective line by smooth curves of genus g, up to isomorphism, is unirational for (g;d)=(10;8) and (13;7). We turn the liaison construction to the multiprojective space P1 P1 P1, which results in the unirationality of an irreducible component of the locus of smooth curves of genus g, carrying three pencils of degree d, for certain values of g and d. In the second part we study the existing possible numbers of pencils of degree 6 on a smooth hexagonal curve of genus 11. Inside the moduli space of genus 11 curves, we describe a unirational irreducible component of the locus of smooth curves possessing k mutually independent linear systems g16 ’s of type I, for the values k = 5; : : : ;10.

Das Hauptthema dieser Arbeit ist das Studim der Unirationalität von Modulräumen von glatten Kurven, welche mehrere Büschel besitzen. Mit Hilfe von sogenannten Liaison-Techniken beweisen wir zunächst, dass das Hurwitz-Schema Hg;d – der Parameterraum von d-blättrigen einfach-verzweigten Überlagerungen der projektiven Geraden von glatten Kurven vom Geschlecht g – unirational ist für (g;d) = (10;8) und (13;7). Wir wenden die Liaison-Konstruktion außerdem auf den multiprojektiven Raum P1 P1 P1 an. Für bestimmte Werte von g und d resultiert dies in der Unirationaliät einer irreduziblen Komponente des Orten von glatten Kurven vom Geschlecht g, welche drei Büschel vom Grad d besitzen. Im zweiten Teil der Arbeit wird die mögliche Anzahl von Büscheln vom Grad 6 auf glatten hexagonalen Kurven vom Geschlecht 11 untersucht. Im Modulraum von Geschecht 11 Kurven beschreiben wir eine unirationale irreduzible Komponente des Ortes von glatten Kurven mit k unabhängigen Linearsystemen g16 vom Typ I für die Werte k = 5; : : : ;10.