German Title: Differentialgleichungen mit Zeitverzögerungen sowie mit Schalt- und Sprungbedingungen

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Abstract

This thesis deals with impulsive hybrid discrete-continuous delay differential equations (IHDDEs). This new class of differential equations is highly challenging for two reasons. First, because of a dependency of the right-hand-side function on past states, with time delays that depend on the current state. Second, because both the right-hand-side function and the state itself are discontinuous at implicitly defined time points.

The theoretical results and numerical methods presented in this thesis are related to the following subject areas: First, solutions of initial value problems (IVPs) in IHDDEs. Second, derivatives of IVP solutions with respect to parameters (“sensitivities”). Third, estimation of parameters in IHDDE models from experimental data. Amongst others, this thesis thereby makes the following contributions:

- The theoretical basis of IHDDE-IVPs is established. This includes the definition of a solution concept, the existence of solutions, the uniqueness of solutions, and the differentiability of solutions with respect to parameters.

- A new approach for numerically solving IVPs in differential equations with time delays is introduced. A key aspect is the use of extrapolations beyond past discontinuities. Convergence of continuous Runge-Kutta methods realized in the framework of the new approach is shown, and numerical results are presented that demonstrate the benefit of using extrapolations on a practical example.

- A “first discretize, then differentiate” approach and a “first differentiate, then discretize” approach for forward sensitivity computation in IHDDEs are investigated. It is revealed that the presence of time delays destroys commutativity of differentiation and discretization in the case of continuous Runge-Kutta methods.

- An extension of the concept of Internal Numerical Differentiation is proposed for differential equations with time delays. The use of the extended concept ensures that numerically computed sensitivities converge to the exact sensitivities, and that the convergence order is identical to the convergence order of the method that is used for solving the nominal IVP.

- The first practical forward and adjoint schemes are developed that realize Internal Numerical Differentiation for IHDDEs. Numerical investigations show that the developed schemes are drastically more efficient than classical methods for sensitivity computation.

- The new numerical methods for solving IVPs and for computing sensitivites are successfully applied to several challenging test cases, and the properties of the methods are analysed.

- Numerical methods are presented for solving nonlinear least-squares parameter estimation problems constrained by IHDDEs.

- A new epidemiological IHDDE model is developed. Therein, an impulse accounts for the arrival of an infected population. Further, the zeros of state-dependent switching functions characterize the time points at which new medical treatments become available.

- A delay differential equation model is presented for the crosstalk of the signaling pathways of two cytokines. In comparison to an ordinary differential equation model, a better fit to experimental data is obtained with a smaller number of differential states.

- A novel model is proposed to describe the voting behavior of the viewers of the TV singing competition “Unser Star für Baku” aired in 2012. Numerical results show that the use of a time delay is crucial for a qualitative correct description of the voting behavior. Furthermore, parameter estimation results yield a good quantitative agreeement with data from the TV show.

- The practical implementation of all developed methods in the new software packages Colsol-DDE and ParamEDE is described.

Translation of abstract (German)

Thema dieser Arbeit ist ein neuer Typ von Differentialgleichungen, der aus zwei Gründen hochgradig anspruchsvoll ist. Einerseits werden Abhängigkeiten der rechten Seite von vergangenen Zuständen betrachtet, wobei die Zeitverzögerungen vom aktuellen Zustand abhängen. Andererseits werden Unstetigkeiten in der rechten Seite und in den Zuständen an implizit definierten Zeitpunkten zugelassen. Für den neuen Differentialgleichungstyp wird der englische Fachbegriff “impulsive hybrid discrete-continuous delay differential equation” (IHDDE) verwendet.

Die vorgestellten theoretischen Ergebnisse und numerischen Methoden stehen in Bezug zu drei Themengebieten: Lösung von Anfangswertproblemen (engl.: initial value problems, kurz IVPs) bei IHDDEs; Ableitungen von IVP Lösungen nach Parametern (auch “Sensitivitäten” genannt); und schließlich Schätzung von Parametern in IHDDE Modellen aus experimentellen Daten. Diese Arbeit liefert dabei unter anderem die folgenden Beiträge:

- Die theoretischen Grundlagen von IHDDE-IVPs werden bereitgestellt. Dies umfasst die Definition eines Lösungsbegriffs, die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen, sowie die Differenzierbarkeit von Lösungen nach Parametern.

- Ein neuer Ansatz zur numerischen Lösung von IVPs bei Differentialgleichungen mit Zeitverzögerungen wird vorgestellt, dessen Kernaspekt die Verwendung von Extrapolationen über vergangene Unstetigkeiten hinweg ist. Für stetige Runge-Kutta Verfahren, die im Rahmen des neuen Ansatzes realisiert sind, wird Konvergenz gezeigt. Ferner wird der Vorteil der Verwendung von Extrapolationen an einem praktischen Beispiel demonstriert.

- Zwei Ansätze zur Berechnung von Vorwärts-Sensitivitäten bei IHDDEs werden untersucht, die sich durch die Reihenfolge der Anwendung des Diskretisierungs- und des Differenzierungsoperators unterscheiden. Im Fall von stetigen Runge-Kutta Verfahren stellt sich heraus, dass Zeitverzögerungen zum Verlust der Kommutativität der beiden Operatoren führen.

- Eine Erweiterung des Konzepts der Internen Numerischen Differentiation für Differentialgleichungen mit Zeitverzögerungen wird vorgeschlagen. Die Anwendung des erweiterten Konzepts stellt sicher, dass die numerisch berechneten Sensitivitäten gegen die exakten Sensitivitäten mit derjenigen Ordnung konvergieren, mit der auch die Nominallösung konvergiert.

- Die ersten praktischen Schemata zur Berechnung von Vorwärts- und Rückwärtssensitivitäten bei IHDDEs werden vorgestellt, die dem Konzept der Internen Numerischen Differentiation folgen. Numerische Untersuchungen zeigen die drastisch höhere Effizienz der entwickelten Schemata im Vergleich zu klassischen Methoden der Sensitivitätsberechnung.

- Die neuen Methoden zur Lösung von IHDDE-IVPs und zur Sensitivitätsberechnung werden auf anspruchsvolle Probleme angewandt. Die Eigenschaften der Methoden werden analysiert.

- Es werden numerische Methoden für die Lösung von IHDDE-beschränkten Parameterschätzproblemen vorgestellt.

- Ein neues IHDDE-Modell der Epidemienausbreitung wird vorgestellt. Hierbei modelliert ein Impuls die Ankunft einer infizierten Bevölkerungsgruppe, und an den Nullstellen zustandsabhängiger Schaltfunktionen werden neue Medikamente bzw. Impfstoffe verfügbar.

- Eine Differentialgleichung mit Zeitverzögerungen zur Beschreibung der Wechselwirkung von zwei Zytokin-Signalkaskaden wird präsentiert. Im Vergleich zu einem Modell ohne Zeitverzögerungen wird einerseits eine bessere Anpassung an experimentelle Daten und andererseits eine Verkleinerung der Anzahl an differentiellen Zuständen erreicht.

- Das Abstimmungsverhalten von Zuschauern der 2012 ausgestrahlten Talentshow “Unser Star für Baku” wird modelliert. Numerische Untersuchungen zeigen, dass eine Zeitverzögerung im Modell wesentlich für eine qualitativ richtige Beschreibung ist. Durch Parameterschätzung wird zudem eine gute quantitive Übereinstimmung zwischen Modell und Daten erreicht.

- Die praktische Realisierung aller entwickelten Methoden in den Softwarepaketen Colsol-DDE und ParamEDE wird beschrieben.