German Title: Numerische Methoden für Nichtlineare Modell-Prädiktive Regelung mit Szenarienbäumen

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Abstract

In this thesis we propose new methods in the field of numerical mathematics and stochastics for a model-based optimization method to control dynamical systems under uncertainty. In model-based control the model-plant mismatch is often large and unforeseen external influences on the dynamics must be taken into account. Therefore we extend the dynamical system by a stochastic component and approximate it by scenario trees. The combination of Nonlinear Model Predictive Control (NMPC) and the scenario tree approach to robustify with respect to the uncertainty is of growing interest. In engineering practice scenario tree NMPC yields a beneficial balance of the conservatism introduced by the robustification with respect to the uncertainty and the controller performance. However, there is a high numerical effort to solve the occuring optimization problems, which heavily depends on the design of the scenario tree used to approximate the uncertainty. A big challenge is then to control the system in real-time. The contribution of this work to the field of numerical optimization is a structure exploiting method for the large-scale optimization problems based on dual decomposition that yields smaller subproblems. They can be solved in a massively parallel fashion and additionally their discretization structure can be exploited numerically. Furthermore, this thesis presents novel methods to generate suitable scenario trees to approximate the uncertainty. Our scenario tree generation based on quadrature rules for sparse grids allows for scenario tree NMPC in high-dimensional uncertainty spaces with approximation properties of the quadrature rules. A further novel approach of this thesis to generate scenario trees is based on the interpretation of the underlying stochastic process as a Markov chain. Under the Markovian assumption we provide guarantees for the scenario tree approximation of the uncertainty. Finally, we present numerical results for scenario tree NMPC. We consider dynamical systems from the chemical industry and demonstrate that the methods developed in this thesis solve optimization problems with large scenario trees in real-time.

Translation of abstract (German)

Diese Arbeit stellt neue Methoden aus dem Bereich der numerischen Mathematik und der Stochastik für ein modellbasiertes Optimierungsverfahren zur Regelung unsicherheitsbehafteter dynamischer Systeme vor. Bei der Anwendung modellbasierter Regelungsansätze ist die Diskrepanz zwischen dem mathematischen Modell und der zu steuernden Anlage oft groß. Auch unvorhersehbare externe Einflüsse müssen berücksichtigt werden. Daher erweitern wir das dynamische System um eine stochastische Komponente und approximieren diese durch einen Szenarienbaum. Nichtlineare modellprädiktive Regelung (NMPC) in Kombination mit dem Szenarienbaumansatz als Robustifizierung gegen die Unsicherheit stößt auf wachsendes Interesse in der Regelungstechnik, denn in der Praxis hat sich gezeigt, dass Szenarienbaum-NMPC eine gute Balance zwischen dem Konservatismus von Robustifizierungsmethoden und der Performanz des Reglers schafft. Der numerische Aufwand für die Lösung der auftretenden Optimierungsprobleme hängt stark von der Struktur des Szenarienbaumes ab. Dieser wiederum soll die Unsicherheit möglichst gut approximieren. Eine große Herausforderung von Szenarienbaum-NMPC ist die Lösung der auftretenden Optimierungsprobleme in Echtzeit. Der Beitrag dieser Arbeit im Forschungsfeld der numerischen Optimierung ist ein strukturausnutzendes Verfahren, welches die auftretenden Optimierungsprobleme mit Hilfe von dualer Dekomposition in kleinere Teilprobleme zerlegt. Die Teilprobleme können parallel gelöst werden unter zusätzlicher numerischer Ausnutzung ihrer Diskretisierungsstruktur. Desweiteren stellt diese Arbeit neuartige Verfahren vor, die passende Szenarienbäume generieren. Unsere Szenarienbaumgenerierung basierend auf Quadraturformeln mit dünnen Gittern ermöglicht Szenarienbaum-NMPC in mehrdimensionalen Unsicherheitsräumen mit den Approximationseigenschaften der Quadraturformeln. Ein weiterer neuartiger Ansatz der Arbeit zum Generieren von Szenarienbäumen basiert auf der Interpretation des zugrundeliegenden stochastischen Prozesses als Markovkette. Unter der Markov-Annahme geben wir Garantien, wie gut die Unsicherheit durch den Szenarienbaum approximiert wird. Schließlich präsentieren wir in der Arbeit numerische Resultate für Szenarienbaum-NMPC. Wir betrachten dynamische Systeme aus industriellen Anwendungen der chemischen Verfahrenstechnik und belegen, dass mit den entwickelten Methoden dieser Arbeit Optimierungsprobleme mit großen Szenarienbäumen in Echtzeit gelöst werden können.