Blätterungen asymptotisch flacher Mannigfaltigkeiten durch Flächen vorgeschriebener mittlerer Krümmung

Abstract

In der vorliegenden Arbeit werden in asymptotisch flachen Mannigfaltigkeiten Flächen vorgeschriebener mittlerer Krümmung konstruiert. Diese Mannigfaltigkeiten sind Modelle für Anfangsdaten der Einsteinschen Feldgleichungen, die isolierte gravitierende Systeme beschreiben.

Die konstruierten Flächen bilden eine Blätterung der asymptotischen Region einer solchen Mannigfaltigkeit und definieren so zum Beispiel die Niveaus einer geometrischen Radialkoordinate. Desweiteren gelingt es uns den ADM-Impuls der Daten aus der Geometrie der Bläterung zu rekonstruieren.

Damit knüpfen wir an eine Arbeit von Huisken und Yau (1996) an, in der eine Blätterung von Flächen konstanter mittlerer Krümmung konstruiert wird, mit Hilfe derer eine geometrische Definition des Massenzentrums eines solchen Systems gelingt.

Für einen gegebenen Datensatz $(M,g,K)$ aus einer dreidimensionalen Mannigfaltigkeit $M$, ihrer Riemannschen Metrik $g$ und der zweiten Fundamentalform $K$ von $M$ in der vierdimensionalen Lösungsmannigfaltigkeit, lautet die gelöste Gleichung $H + P = const.$ bzw. $H-P = const.$. Dabei ist $P= tr K$ die 2-Spur von $K$ entlang der Lösungsfläche. Dies ist eine degeneriert elliptische Gleichung für die Position der Fläche. Die Vorschrift der mittleren Krümmung ist anisotrop, da $P$ von der Richtung der Normalen abhängt.

Wir zeigen die Existenz einer Blätterung von Flächen, die eine dieser Gleichungen lösen, unter sehr allgemeinen Abfallbdedingungen an die Norm der Differenz der Metrik $g$ von der Schwarzschild Metrik $g^S$ und die Norm des Tensors $K$.

Präzise ausgedrückt sind die Bedingungen $r|g - g^S| + r^2|\nabla - \nabla^S| + r^3|Ric - Ric^S| < \eta$ sowie $r^2|K| + r^3|\nabla K| < \eta$ hinreichend.

Dabei ist $g^S$ die räumliche, konform flache Schwarzschildmetrik der Masse $m>0$, $r$ die asymptotische Radialkoordinate, $\nabla$ und $\nabla^S$ sind die Levi-Civita-Zusammenhänge von $g$ bzw. $g^S$ und $Ric$ bzw. $Ric^S$ sind die jeweiligen Ricci Krümmungen und $\eta = m \eta_0$ mit einer kleinen Konstanten $\eta_0$.

This work constructs surfaces of prescribed mean curvature in asymptotically flat manifolds. Such manifolds are the model for initial data to the Einstein field equations in general relativity, decribing isolated gravitating systems.

The surfaces in question form a regular foliation of the asymptotic region of such a manifold and can for example be considered as the level sets of a geometrically defined radial coordinate. IN addition we are able to recover the ADM-momentum of the data from the geometry of the foliation.

The present work continues a previous paper from Huisken and Yau (1996) in which a foliation of surfaces of constant mean curvature was constructed and used to give a geometric definiton of the center of mass of such a system.

For a given set of data $(M,g,K)$, with a three dimensional manifold, its Riemmanian meetric $g$ and the second fundamental form of $M$ in the four dimensional solution manifold, the equation solved is $H+P=const$ od $H-P=const$. Here $P= tr K$ is the 2-trace of $K$ along the solution surface. This is a degenerate elliptic equation for the position of the surface. The presciption is anisotropic, since $P$ depends on the direction of the normal.

We show the existence of such a foliation of surfaces, solving one of these equations, for very general decay conditions on the norm of the difference of the metric $g$ and the Schwarzschild metric $g^S$, and the norm of the tensor $K$.

Precisely speaking, the conditions $r|g - g^S| + r^2|\nabla - \nabla^S| + r^3|Ric - Ric^S| < \eta$ and $r^2|K| + r^3|\nabla K| < \eta$ are sufficient.

Here $g^S$ is the spatial, conformally flat Schwarzschildmetric with mass $m>0$, $r$ the asymptotic radial coordinate, $\nabla$ and $\nabla^S$ are the Levi-Civita connections of $g$ and $g^S$, $Ric$ and $Ric^S$ are the respective Ricci curvatures and $\eta = m \eta_0$ with a small constant $\eta_0$.