Mikroskopische Theorie geometrischer Josephson-Kontakte

Abstract

Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wurde der Gleichstrom-Josephson-Effekt an geometrischen Josephson-Kontakten untersucht. Diese Untersuchungen basierten auf der zweidimensionalen selbstkonsistenten Berechnung der Propagatoren der mikroskopischen Eilenberger-Theorie der Supraleitung. Damit wurden geometrische Josephson-Kontakte in Form von Mikrobrücken bestehend aus Supraleitern mit s- und d-Wellen-Symmetrie der Paarwechselwirkung betrachtet. Die typischen Abmessungen l und w der Engstelle, die den Josephson-Kontakt realisiert, wurden dabei im Vergleich zur Kohärenzlänge des Materials xi_0 im gesamten Bereich von l,w<<xi_0 bis l,w>>xi_0 variiert, es wurden Abschirmungseffekte sowie der Einfluss eines äußeren Magnetfeldes untersucht und es wurde dabei der gesamte Temperaturbereich von T=0 bis zur Sprungtemperatur Tc betrachtet.

Bei der theoretischen Beschreibung der geometrischen Josephson-Kontakte wurde ein Verfahren zur effizienten numerischen Berechnung selbstkonsistenter Lösungen für die Propagatoren der mikroskopischen Eilenberger-Theorie für ausgedehnte zweidimensionale Geometrien entwickelt und in Form von parallelisiertem numerischem Code implementiert. Es wurde eine Darstellung gefunden, die es erlaubt, magnetische Felder über ein entsprechendes Vektorpotential für beliebige Geometrien selbstkonsistent zu berücksichtigen. Die magnetischen Felder umfassen dabei sowohl äußere Felder als auch die, die durch die in der Geometrie fließenden Ströme hervorgerufen werden. Die entwickelten Methoden sind nicht auf die Beschreibung geometrischer Josephson-Kontakte beschränkt und eine Anwendung auf eine Vielzahl von Fragestellungen im Rahmen der mikroskopischen Theorie der Supraleitung ist möglich.

Um das statische Verhalten der betrachteten Josephson-Kontakte zu charakterisieren, wurden unter anderem Strom-Phasen-Beziehungen selbstkonsistent berechnet und aus diesen die kritischen Ströme extrahiert. Bei Kenntnis der Strom-Phasen-Beziehung kann die Änderung der Freien Energie eines Josephson-Kontaktes, hervorgerufen durch eine Variation der eichinvarianten Phasendifferenz, durch die Integration der Strom-Phasen-Beziehung gewonnen werden. Eine Herleitung der entsprechenden Relation aus dem Eilenberger-Funktional wurde in der vorliegenden Arbeit präsentiert. Damit ist eine mikroskopische Begründung dieser Art der Berechnung der Änderung der Freien Energie gegeben, deren Gültigkeitsbereich sich über den gesamten Temperaturbereich von T=0 bis Tc erstreckt und die auch im Fall äußerer Magnetfelder unverändert gilt. Des Weiteren ist die angegebene Herleitung nicht auf Josephson-Kontakte beschränkt, sondern besitzt Gültigkeit für beliebige Strukturen, die eine Strom-Phasen-Beziehung aufweisen.

Im ersten Teil dieser Arbeit wurden die erarbeiteten Methoden auf einen geometrischen Josephson-Kontakt in Form einer rechtwinkligen Mikrobrücke bestehend aus einem konventionellen s-Wellen-Supraleiter angewandt. Durch die Berechnung der Amplitude und der Phase des Paarpotentials, der Stromdichte und der lokalen Quasiteilchen-Zustandsdichte in der Mikrobrücke wurde im Detail untersucht, wie der Josephson-Effekt an einer Engstelle zustande kommt. Des Weiteren wurde der Einfluss der geometrischen Parameter untersucht. Einerseits konnte gezeigt werden, dass mit zunehmender Breite der Mikrobrücke die Strom-Phasen-Beziehungen zunehmend nicht-sinusförmig und mehrdeutig werden, was den Übergang zum Stromfluss in einem ausgedehnten Supraleiter markiert. Andererseits konnte gezeigt werden, dass auch mit zunehmender Länge der Mikrobrücke die Strom-Phasen-Beziehungen zunehmend nicht-sinusförmig werden, der kritische Strom aber abnimmt und sich asymptotisch einem endlichen Wert annähert. Schließlich wurden auch Abschirmungseffekte sowie der Einfluss eines äußeren Magnetfeldes untersucht. Dabei konnte gezeigt werden, dass das Verhältnis aus magnetischer Eindringtiefe lambda_L und Kohärenzlänge (Ginzburg-Landau-Parameter kappa) keinen wesentlichen Einfluss auf die Strom-Phasen-Beziehungen hat, solange die magnetische Eindringtiefe nicht deutlich kleiner als die Ausdehnung der Engstelle ist. Die selbstkonsistenten Ergebnisse zeigen des Weiteren, dass ein äußeres Magnetfeld bei einer Mikrobrücke im Wesentlichen zur Unterdrückung der Supraleitung in den breiteren Zuleitungen führt, während in der direkten Umgebung der Mikrobrücke aufgrund der kleineren Abmessungen die Supraleitung auch bei stärkeren Feldern überlebt. Dies führt zu einer monotonen Abnahme des kritischen Stromes als Funktion des Magnetfeldes. Insbesondere treten für lambda_L >~ l,w keine quantisierten Wirbel im Kontakt auf und es kann kein Fraunhofer-Muster beobachtet werden.

Im zweiten Teil wurde die Geometrie der rechtwinkligen Mikrobrücke für den Fall eines d-Wellen-Supraleiters untersucht. Der Einfluss der d-Wellen-Symmetrie auf den Josephson-Effekt an geometrischen Josephson-Kontakten wurde in dieser Arbeit erstmals untersucht und führt zu spektakulären Unterschieden im Vergleich zum Fall des s-Wellen-Supraleiters. Bei geeigneter Orientierung des Kristallgitters führt die unkonventionelle Paarungssymmetrie zu gebundenen Andreev-Zuständen und rückfließenden Strömen an den Oberflächen des Materials, woraus negative Gesamtströme und endliche intrinsische Phasendifferenzen des Josephson-Kontaktes resultieren können. Damit konnte gezeigt werden, dass durch einen geometrischen Josephson-Kontakt bestehend aus einem Supraleiter mit d-Wellen-Symmetrie der Paarwechselwirkung ein pi-Josephson-Kontakt sowie auch ein phi-Josephson-Kontakt realisiert werden kann. Dies stellt einen neuen, bislang unbekannten Mechanismus für das Auftreten negativer Kopplung und intrinsischer Phasendifferenzen in Josephson-Kontakten dar.

Das Auftreten der rückfließenden Ströme bei negativer Kopplung wurde durch die Betrachtung der lokalen Quasiteilchen-Zustandsdichte in der Engstelle erklärt und die resultierenden Strom-Phasen-Beziehungen wurden bezüglich der Beiträge höherer Harmonischer analysiert. Basierend auf der mikroskopisch abgeleiteten Formel für die Änderung der Freien Energie eines Josephson-Kontaktes wurden die möglichen Zustände der Josephson-Kontakte in Form von 0-pi-Phasendiagrammen dargestellt. Die mikroskopische Herleitung der Formel für die Änderung der Freien Energie liefert dabei erstmals eine fundierte Basis für die Verknüpfung der intrinsischen Phasendifferenz mit der Strom-Phasen-Beziehung.

Im dritten und letzten Teil dieser Arbeit wurde eine spezielle Geometrie für einen Engstellen-Josephson-Kontakt bestehend aus einem d-Wellen-Supraleiter vorgeschlagen, bei der intrinsische Phasendifferenzen bei vergleichsweise großen Abmessungen der Engstelle in besonders robuster Art und Weise auftreten. Für diesen sogenannten geometrischen pi-Josephson-Kontakt wurden die Strom-Phasen-Beziehungen und die kritischen Ströme selbstkonsistent sowie mit Hilfe eines nicht-selbstkonsistenten Modells für das Paarpotential berechnet. Damit konnte der Einfluss aller relevanten geometrischen Parameter sowie der Temperatur angegeben werden. Insbesondere konnte gezeigt werden, dass im Grenzfall einer verschwindenden Ausdehnung der Engstelle ein pi-Punktkontakt mit einer intrinsischen Phasendifferenz von pi folgt, der damit das direkte Analogon zu einem normalen Punktkontakt mit einer verschwindenden intrinsischen Phasendifferenz darstellt. Der Einfluss der geometrischen Parameter und der Temperatur auf den Zustand der resultierenden 0-, phi- und pi-Josephson-Kontakte wurde in Form von 0-pi-Phasendiagrammen kompakt dargestellt und im Sinne der experimentellen Realisierbarkeit diskutiert.

Die im Rahmen dieser Arbeit erstmals beschriebene Möglichkeit, Josephson-Kontakte mit einer endlichen intrinsischen Phasendifferenz in Form von geometrischen Josephson-Kontakten aus d-Wellen-Supraleitern zu erhalten, eröffnet vielfältige neue Möglichkeiten für grundlegende physikalische Untersuchungen sowie für technische Anwendungen in der Supraleitungselektronik. Normale oder 0-Josephson-Kontakte sowie pi-Josephson-Kontakte und phi-Josephson-Kontakte allein durch die Strukturierung eines dünnen Films eines d-Wellen-Supraleiters herzustellen, macht die vergleichsweise einfache Erzeugung eines bistabilen Grundzustandes in einer geschlossenen supraleitenden Schleife denkbar, ebenso wie vielfältige Erweiterungen und Verbesserungen im Bereich von supraleitender rapid single flux quantum oder RSFQ-Logik. Insbesondere wird die Möglichkeit eröffnet, in einem einzigen Prozess 0-, phi- sowie pi-Josephson-Kontakte herzustellen und diese nahezu beliebig zu SQUIDs und SQIFs zu kombinieren, um gezielt deren Kennlinien zu beeinflussen.

In the present work, the dc Josephson effect has been investigated for geometric Josephson junctions. These investigations were based on the calculation of two-dimensional selfconsistent solutions for the propagators of microscopic Eilenberger theory of superconductivity. Using these calculations, geometric Josephson junctions in the form of microbridges consisting of superconductors with s- and d-wave symmetry of the pairing interaction have been considered. The typical dimensions l and w of the constriction which realizes the Josephson junction have been varied in the full range from l,w << xi_0 to l,w >> xi_0, where xi_0 is the coherence length of the superconductor. Furthermore, screening effects have been investigated as well as the influence of an external magnetic field. All calculations were carried out for the full temperature range from T=0 up to the critical temperature Tc.

In order to explore geometric Jospehson junctions theoretically, an efficient method for the numerical calculation of selfconsistent solutions for the propagators of microscopic Eilenberger theory for extended two-dimensional geometries has been developed and implemented using parallelized algorithms. A description has been found which allows for the consideration of magnetic fields using an appropriate magnetic vector potential. Here, the magnetic fields comprise both external magnetic fields as well as those evoked by the currents flowing in the geometry. At the same time, the methods developed in the present work are not restricted to Josephson junctions. Accordingly, the application to a variety of problems in the scope of microscopic theory of superconductivity is viable.

To investigate the static behaviour of the Josephson junctions under consideration, current-phase relations have been calculated and the respective critical currents have been extracted. If the current-phase relation of a Josephson junction is known, the change of the free energy of the Josephson junction caused by a variation of the gauge-invariant phase difference can be found from an integration of the current-phase relation. A derivation of the according relation based on the Eilenberger functional has been given in the present work. Hence, a microscopic foundation for the calculation of the variation of the free energy has been given, which is valid in the full temperature range from T=0 to Tc as well as in the presence of external magnetic fields. Furthermore, the derivation given in the present work is not restricted to Josephson junctions but can be applied to arbitrary structures exhibiting a current-phase relation.

In the first part of the present work, the methods described above have been applied to a geometric Josephson junction in the form of a rectangular microbridge consisting of a conventional s-wave superconductor. Based on the calculation of the amplitude and the phase of the pairing potential, of the current density and of the local quasiparticle density of states in the microbridge, the emergence of the Josephson effect at a constriction of the superconducting material has been investigated. Furthermore, the influence of the relevant geometric parameters has been considered. On the one hand, it has been shown that, for a growing width of the microbridge, the current-phase relations become more and more non-sinusoidal and multivalued. This behaviour marks the transition to current flow in the bulk. On the other hand, it has been shown that, for a growing length of the microbridge, the current-phase relations also become more and more non-sinusoidal, but the critical current decreases and approaches a finite limiting value. Finally, screening effects as well as the influence of an external magnetic field have been investigated. It has been found that the relation between the magnetic penetration depth lambda_L and the coherence length xi_0 (Ginzburg-Landau parameter kappa) does not have a relevant influence on the current-phase relation as long as the magnetic penetration depth is not considerably smaller than the extension of the constriction. Furthermore, the selfconsistent results show that, for a microbridge Josephson junction, an external magnetic field leads to a suppression of superconductivity in the extended electrodes, whereas in the direct vicinity of the microbridge, superconductivity survives up to much larger fields because of the small spatial extent of the superconductor. This leads to monotonically decreasing critical currents as a function of the magnitude of the external magnetic field. In particular, for lambda_L >~ l,w, no quantized vortices appear in the junction and a Fraunhofer pattern cannot be observed.

In the second part of the present work, the rectangular microbridge geometry has been investigated for the case of the unconventional d-wave superconductor. In the present work, the influence of d-wave symmetry on the Josephson effect emerging at geometric Josephson junctions has been considered for the first time. The unconventional d-wave symmetry leads to spectacular new effects as compared to the case of the conventional s-wave superconductor. For a nodal orientation of the crystal lattice, the unconventional symmetry of the pairing interaction leads to Andreev bound states and backflowing currents at the surface of the material, which may eventually lead to negative total currents and finite intrinsic phase differences of the Josephson junction. Accordingly, it has been shown that pi Josephson junctions as well as phi Josephson junctions can be realized based on geometric Josephson junctions consisting of a d-wave superconductor. This makes up a novel mechanism leading to negative coupling and intrinsic phase differences in Josephson junctions.

The appearance of backflowing surface currents for the peculiar case of negative coupling has been explained based on the local quasiparticle density of states in the constriction. The contributions of higher harmonics to the resulting current phase relations have been analyzed. Based on the microscopic derivation of the relation between the current phase relation and the variation of the free energy, the state of the junctions has been displayed in the form of 0-pi phase diagrams. The microscopic derivation of the variation of the free energy provides a solid basis for the relation between the intrinsic phase difference and the current phase relation.

In the third and last part of the present work, a special geometry for a constriction-type Josephson junction consisting of a d-wave superconductor has been proposed, which leads to the appearance of intrinsic phase differences at comparatively large extensions of the constriction in a particularly robust way. For this so-called geometric pi Josephson junction, current phase relations and critical currents have been calculated both selfconsistently as well as employing a non-selfconsistent model for the pairing potential. Based on these results, the influence of all relevant geometric parameters as well as of the temperature has been derived. In particular, it has been found that in the limit of a vanishing extension of the constriction, a pi point contact follows, which is the direct analogue to a standard point contact. The influence of the geometric parameters as well as of the temperature on the state of the Josephson junction has been displayed in the form of 0-pi phase diagrams and an experimental realization has been discussed.

In the present work, Josephson junctions with an intrinsic phase difference based on constrictions of d-wave superconductors have been described for the first time. This new kind of phi and pi Josephson junction opens up a variety of new possibilities both for basic research as well as for applications in superconducting electronics. To obtain normal or 0 Josephson junctions as well as pi and phi Josephson junctions by structuring an epitactic thin film of a d-wave superconductor allows for the straightforward creation of superconducting loops with a bistable ground state, as well as for diverse extensions and improvements in the field of superconducting rapid single flux quantum or RSFQ logic. In particular, the possibility to create 0, phi and pi Josephson junctions in a single process has been opened up. This allows for almost arbitrary combinations of these particular Josephson junctions to SQUID and SQIF structures in order to manipulate their respective characteristics.