Nichtlineare Evolution von Hyperflächen entlang ihrer mittleren Krümmung

Abstract

In dieser Arbeit studieren wir die Evolution von n-dimensionalen, kompakten Hyperflächen des $R^{n+1}$ in Richtung ihres Normalenvektors mit einer positiven Potenz der mittleren Krümmung als Geschwindigkeit.

Für konvexe Anfangsflächen können wir in einem ersten Teil der Arbeit zeigen, dass eine eindeutige, glatte Lösung auf einem maximalen, endlichen Zeitintervall $[0,T)$ existiert. Die Flächen bleiben unter dem Fluss konvex und kontrahieren für $t ightarrow T$ zu einem Punkt.

Indem wir die Flächen als Niveaumengen einer geeigneten Funktion auffassen, entwickeln wir in einem zweiten Teil der Arbeit einen schwachen Lösungsbegriff für Anfangsflächen mit strikt positver mittlerer Krümmung. Mit Hilfe von elliptischer Regularisierung können wir die Existenz einer schwachen Lösung, sowie verschiedene Regularitätsaussagen für die Niveaumengen beweisen.

We study the evolution of n-dimensional, compact Hypersufaces in $R^{n+1}$ in direction of their normal vector with speed equal to a postive power the mean curvature.

In a first part we can show that for convex initial surfaces, there exists a unique, smooth solution on a maximal, finite time interval $[0,T)$. The surfaces stay convex under the flow and contract for $t ightarrow T$ to a point.

By considering the surfaces as level sets of an appropriate function, we develop in a second part of the paper a notion of a weak solution for initial surfaces with strictly positive mean curvature. Using elliptic regularisation we can prove the existence of a weak solution, as well as different regularity results for the level sets.