Zur Spektraltheorie von Toeplitzoperatoren auf dem Hardyraum H2(Bn)

Abstract

Diese Arbeit ist der Spektraltheorie der kommutativen C*-Algebren von Toeplitzoperatoren auf dem Hardyraum und ihrer Anwendungen gewidmet. Sie bezweckt, die für die gewichteten Bergmanräume bekannten Ergebnisse von Quirroga-Barranco und Vasilevski auf den Hardyraum zu übertragen. Insbesondere zeigen wir, dass für jede maximal kommutative Untergruppe G der Automorphismengruppe die C*-Algebra, die von den Toeplitzoperatoren mit G-invarianten Symbolen erzeugt wird, kommutativ auf dem Hardyraum. Außerdem zeigen wir, dass in jedem Fall die entsprechenden Toeplitzoperatoren Spektraldarstellungen besitzen, die zur Gewinnung ihrer Spektraleigenschaften führen. Ein weiteres Ziel der Arbeit ist, die Fredholmstruktur von Toeplitzoperatoren mit gewissen unstetigen Symbolen zu untersuchen. Zwei Symbolklassen von Toeplitzoperatoren werden behandelt, zum einen die Symbolklasse von McDonald und zum anderen Symbole mit Invarianzeigenschaften bezüglich gewisser kommutativen Untergruppen von Automorphismengruppe.

This Thesis is devoted to the spectral theory of commutative C*-algebras of Toeplitz operators on the Hardy space and its applications. The purpose of it is to extend the results obtained by Quiroga-Barranco and Vasilevski for the case of weighted Bergman spaces to the situation of Hardy spaces. In particular we prove that, for any maximal commutative subgroup G of automorphism group , the C*-algebra generated by Toeplitz operators with symbols which are invariant under action of G is commutative on the Hardy space. Moreover we show that in each case the corresponding Toeplitz operators admit spectral representations which describe their spectral properties. Another Aim of this work is to study the Fredholm structure of Toeplitz operators with certain discontinuous symbols. We will discuss two classes of symbols of Toeplitz operators, namely those of McDonal, and Symbols with properties of invariance with respect to certain commutative subgroups of automorphism group.