Finite element methods with local Trefftz trial functions

Abstract

In the development of numerical methods for boundary value problems, the requirement of flexible mesh handling gains more and more importance. The available work deals with a new kind of conforming finite element methods on polygonal/polyhedral meshes. The idea is to use basis functions which are defined implicitly as local solutions of the underlying homogeneous problem with constant coefficients. They are referred to local Trefftz functions. These local problems are treated by means of boundary integral equations and are approximated by the use of the boundary element method in the numerics. The method is applied to the stationary diffusion equation, where lower as well as higher order basis functions are introduced in two space dimensions. The convergence is analysed with respect to the H^1- as well as the L_2-norm and rates of convergence are proven. In case of non-constant diffusion coefficients, a special approximation is proposed. Beside the uniform refinement, an adaptive strategy is given which makes use of the residual error estimator and an introduced refinement procedure. The reliability of the residual error estimate is proven on polygonal meshes. Finally, the generalization to arbitrary polyhedral meshes with polygonal faces is discussed. All theoretical results and considerations are confirmed by numerical experiments.

In der Entwicklung numerischer Verfahren zur Approximation von Randwertaufgaben werden flexible Vernetzungen der zugrunde liegenden Gebiete immer wichtiger. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit neuartigen Finiten Element Methoden, die zu konformen Approximationen auf polygonalen und polyhedralen Gittern führen. Der Gedanke dieser Vorgehensweise liegt darin, die Ansatzfunktionen implizit als Lösungen von lokalen Randwertaufgaben zu definieren, wie dies auch schon E. Trefftz vorgeschlagen hat. Hierbei wird die Differentialgleichung des Ursprungsproblems mit konstanten Koeffizienten und homogener rechter Seite verwendet. Die lokalen Probleme werden mit Randintegralgleichungen und in der Realisierung mit Randelementmethoden behandelt. Das Verfahren wird auf die stationäre Diffusionsgleichung angewendet, wofür Ansatzfunktionen niedriger als auch höherer Ordnung eingeführt werden. Konvergenzraten bezüglich der H^1- sowie der L_2-Norm werden untersucht und bewiesen. Im Falle eines nicht konstanten Diffusionskoeffizienten wird eine spezielle Vorgehensweise vorgeschlagen. Neben der gleichmäßigen Verfeinerung der Netze wird ebenso eine adaptive Strategie angegeben, die von dem residualen Fehlerschätzer und einer eingeführten Verfeinerung Gebrauch macht. Die Zuverlässigkeit des Fehlerschätzers auf polygonalen Netzen wird bewiesen und schließlich wird das Verfahren erweitert, so dass es auf polyhedralen Gittern mit polygonalen Elementflächen angewendet werden kann. Alle theoretischen Resultate und Überlegungen werden durch numerische Experimente bestätigt.