The lack of a unique, classical microscopic reference state impedes the study of elasticity in non-ideal crystals at finite temperature. Not only do thermal lattice vibrations contribute to that lack for their part but they also promote the creation of point defects. Moreover, phason flips cause an ambiguity of the reference configuration intrinsic to quasicrystals. These processes crucially go along with an unclear microscopic definition of the displacement field.

This thesis generalizes previous approaches to isothermal crystal elasticity, focusing on the periodic case discussed in Part II. The two equivalent approaches considered can be distinguished by their nature as static/thermodynamic respectively hydrodynamic. Primarily, the linear, dissipationless and isothermal Zwanzig–Mori equations of motion from [WF10] are generalized to binary periodic crystals. This includes the derivation of a dynamical block matrix whose diagonalization yields both acoustic and optical phonon dispersion relations. The elastic constants follow from the acoustic branches by the method of long waves. The central input parameter to the theory is the direct correlation function which can be obtained from classical Density Functional Theory (DFT). As a proof of principle, dispersion relations are computed for several binary hard sphere model systems, based on a simple DFT approach to freezing. Dispersion relations are further computed from the equilibrium statistics of a binary hard sphere crystal Molecular Dynamics simulation. To that end, the definition of the linear response displacement field from [WF10] is generalized in a species-wise manner.

A discussion of the properties of the dynamical matrix in the long-wavelength limit is performed with the result of potential couplings of the total momentum density to non-hydrodynamic variables. While these couplings can be ruled out in systems with inversion symmetry, there are strong indications for a lowering of the elastic constants in the opposite case. This seems in conflict with phenomenological hydrodynamics of crystals and raises fundamental questions about the correct application of the Zwanzig–Mori formalism. More specifically, the presence of reversible contributions in the memory matrix comes into question. In reaction to that, two working-hypotheses are formulated that allow to apply the formalism in the conventional way, yet appear incompatible in the light of the findings.

Therefore, a “second witness is called to court” in the form of the thermodynamic DFT approach to crystal elasticity. It is formulated for binary periodic crystals of arbitrary symmetry. By dropping the requirement of inversion symmetry and by the inclusion of point defect fluctuations, this thesis adds to the scope of previous binary approaches. Additionally, the equilibrium condition at given external strain and defect fluctuations is discussed on the level of arbitrary internal strain. This is expected to provide a straightforward access to the treatment of more complicated internal strains. The subsequent example includes only a single sublattice displacement as “optical” internal strain parameter. Its coupling to external strain is derived and related to results known from the classical low-temperature potential expansion. Whether this potential expansion approach has been correctly recovered by [Wal09] in the case of lattices without inversion symmetry is studied on the example of the honeycomb lattice.

In a separate part, approaches to the description of acoustic phonons in quasicrystals within the same Zwanzig–Mori formalism are explored. The characteristic “dense” structure of the reciprocal lattice for such systems poses challenges to which no conclusive answer could be given. The author hopes that the approaches made may serve as a starting point for future research. Nonetheless, encouraged by earlier works in that direction, the thermodynamic approach to elasticity is modified from periodic crystals and applied to a specific two-dimensional quasicrystal example.

Das Fehlen einer eindeutigen, klassischen mikroskopischen Referenzkonfiguration steht der Elastizitätstheorie nichtidealer Kristalle bei endlichen Temperaturen im Wege. Thermische Gitterschwingungen tragen nicht nur ihren Teil zu dieser Problematik bei, sondern begünstigen auch die Entstehung von Punktdefekten. Darüber hinaus bewirken Phasonenflips eine Quasikristallen intrinsische Mehrdeutigkeit der Referenzkonfiguration. Entscheidend ist, dass diese Prozesse mit einer unklaren mikroskopischen Definition des Verschiebungsfeldes einhergehen.

Diese Dissertation verallgemeinert frühere Ansätze zur isothermen Elastizitätstheorie von Kristallen, wobei der Schwerpunkt auf dem in Teil II behandelten periodischen Fall liegt. Die zwei behandelten, äquivalenten Ansätze können ihrer Natur nach in einen statischen/thermodynamischen und hydrodynamischen unterschieden werden. Vor allem geht es um die Verallgemeinerung der linearen, nicht-dissipativen und isothermen Zwanzig–Mori-Bewegungsgleichungen aus [WF10] auf den Fall binärer periodischer Kristalle. Hierbei wird die dynamische Blockmatrix hergeleitet, aus deren Diagonalisierung sowohl akustische als auch optische Phononendispersionsrelationen folgen. Die Elastizitätskonstanten folgen aus den akustischen Zweigen mit der Methode langer Wellen. Die zentrale Inputgröße der Theorie ist die direkte Korrelationsfunktion, welche man aus der klassischen Dichtefunktionaltheorie (DFT) erhält. Zu Demonstrationszwecken werden Dispersionsrelationen für mehrere binäre Hartkugel-Modellsysteme berechnet, beruhend auf einer simplen DFT zur Gefrierpunktsbestimmung. Weiterhin werden Dispersionsrelationen aus der Gleichgewichtsstatistik der Molekulardynamiksimulation eines binären Hartkugelkristalles berechnet. Zu diesem Zweck wird die Definition des Verschiebungsfeldes aus [WF10] innerhalb der linearen Antworttheorie komponentenweise verallgemeinert.

Eine Diskussion der Eigenschaften der dynamischen Matrix im Langwellenlimes führt zu dem Ergebnis möglicher Kopplungen der Gesamtimpulsdichte zu nicht-hydrodynamischen Variablen. Während sich diese Kopplungen für Systeme mit Inversionssymmetrie ausschließen lassen, gibt es starke Hinweise auf eine Verkleinerung der elastischen Konstanten im gegenteiligen Fall. Dies scheint unvereinbar mit der phänomenologischen Hydrodynamik von Kristallen und wirft fundamentale Fragen zur korrekten Anwendung des Zwanzig–Mori-Formalismus auf. Konkret steht das Vorhandensein reversibler Beiträge in der Gedächtnismatrix zur Debatte. In Reaktion darauf werden zwei Arbeitshypothesen formuliert, welche die konventionelle Anwendung des Formalismus ermöglichen, jedoch im Hinblick auf die Ergebnisse unvereinbar erscheinen.

Daher “wird ein zweiter Zeuge vor Gericht gerufen” in Form des thermodynamischen DFT-Ansatzes zur Elastizität von Kristallen. Er wird formuliert für binäre Kristalle beliebiger Symmetrie. Im Verzicht auf die Forderung von Inversionssymmetrie und der Berücksichtigung von Punktdefektfluktuationen erweitert diese Dissertation den Gültigkeitsbereich früherer binärer Ansätze. Zusätzlich wird die Gleichgewichtsbedingung bei gegebener äußerer Verzerrung und Defektfluktuationen auf der Ebene beliebiger interner Verzerrungen diskutiert. Dies lässt einen unkomplizierten Zugang zur Behandlung komplizierterer interner Verzerrungen erwarten. Das anschließende Beispiel beinhaltet lediglich eine einzelne Untergitterverschiebung als “optischer” Parameter der internen Verzerrung. Seine Kopplung zur äußeren Verzerrung wird hergeleitet und mit bekannten Ergebnissen der klassischen Potentialentwicklung bei niedrigen Temperaturen in Verbindung gebracht. Ob diese Potentialentwicklungsmethode im Falle von Gittern ohne Inversionssymmetrie in [Wal09] korrekt hergeleitet wurde, wird am Beispiel des Honigwabengitters untersucht.

Ansätze zur Beschreibung akustischer Phononen in Quasikristallen im Rahmen des Zwanzig–Mori-Formalismus werden in einem separaten Teil untersucht. Die charakteristische “dichte” Struktur des reziproken Gitters in solchen Systemen bringt Herausforderungen mit sich, auf die keine abschließende Antwort gegeben werden konnte. Der Autor hofft, dass die gemachten Ansätze als Ausgangspunkt zukünftiger Forschung diesen können. Ermutigt von früheren Arbeiten in dieselbe Richtung wird gleichwohl die thermodynamische Herangehensweise an Elastizität von periodischen Kristallen modifiziert und auf das Beispiel eines einfachen zweidimensionalen Quasikristalls angewandt.