This dissertation consists of three research papers that investigate different interesting topics of portfolio risk. Portfolio risk management is of growing interest to investors, regulators, and practitioners, especially during market downturns and financial crises. On one hand, investors might have different and time-varying risk preference and practitioners have to select a general optimal portfolio to meet their agents’ risk preference. However, the popular Mean-Variance technique for portfolio selection suffers the limitation of not being able to generate a general optimal portfolio for all risk-averse investors. Therefore, new techniques for improved portfolio selection are desirable to supplement the traditional Mean-Variance approach. On the other hand, once the optimal portfolio is selected, investors and regulators are more prone to know their portfolio risk in a forward-looking manner and practitioners are requested to provide various risk reports regarding the financial stand of portfolios. Stress tests are regularly conducted to report the portfolio risk in a forward-looking manner. Among them, the correlation stress test is an important category. However, the current correlation stress tests are limited to efficiently stress a high-dimensional correlation matrix and easily maintain all the mathematical properties in the meantime. Therefore, a simple and efficient correlation stress test should be developed to allow perturbations in a high-dimensional correlation matrix and easily satisfy all the mathematical properties of a valid correlation matrix.

In this dissertation, the first two papers investigate the second order stochastic dominance approach in portfolio selection and the last one develops a new correlation stress test to evaluate portfolio risk. The first chapter of this dissertation provides a selective literature review on the stochastic dominance rules, tests, and their applications in portfolio selection. This survey compares the performance of popular second and third order stochastic dominance tests under various sampling schemes and data contamination by simulation. For each simulated sampling scheme, I first find the tests that keep the size well and show high power. Among the tests with good performance, I further recommend the one with the highest computational speed to apply in practice. To my best knowledge, this is the first survey to compare the performance of third order stochastic dominance tests. This is also the first survey one to review and summarize the popular second order stochastic linear programs for portfolio selection.

The second chapter of this dissertation focuses on portfolio choice based on the second order stochastic dominance rules. The traditional Mean-Variance approach assumes either quadratic utilities or normal return distributions. It has limited applications to skewed distributions and heterogeneous investors’ risk preference. Its optimal portfolio generates extreme portfolio weights and does not have good out-of-sample performance. In contrast, the second order stochastic dominance approach provides an attractive alternative to the Mean-Variance technique. It suits all risk averse investors and accommodates skewed distributions and heterogeneous risk preference. The optimal portfolio selected by the second order stochastic dominance rules generates stable portfolio weights across different periods and its out-of-sample performance is generally better than the Mean-Variance optimal portfolio (Hodder, Jackwerth, and Kolokolova, 2009). However, most of the stochastic dominance linear programs in the literature are designed to test whether a given portfolio is efficient when evaluated by the second order stochastic dominance rules. There are very few linear programs focusing on portfolio construction based on the stochastic dominance rules. In this chapter, I propose a two-step algorithm to approximate the second order stochastic dominance optimal portfolio. First of all, I use the minimum shortfall linear program by Rockafellar and Uryasev (2000) to generate the minimum shortfall efficient set, which is a subset of the second order stochastic dominance efficient set. Next, I select the optimal portfolio within the minimum shortfall efficient set as the portfolio with the highest statistical support by Davidson and Duclos (2006) and Davidson’s (2007) second order stochastic dominance test over the benchmark. The optimal portfolio is then automatically efficient when evaluated by the second order stochastic dominance rules and the computational speed is reasonable. I show that the performance of the minimum shortfall optimal portfolio approximates the performance of the second order stochastic dominance optimal portfolio by simulation and an empirical implementation.

The third chapter of this dissertation develops a new correlation stress test for high-dimensional correlation matrices. It is a joint work with Anton Golub, a former Marie Curie Fellow. Stressing a correlation matrix is not an easy task because the post-stressed correlation matrix is likely to lose one or more of the required mathematical properties, say, positive semi-definiteness. Some popular correlation stress tests in the literature are devoted to finding a valid correlation matrix that satisfies all the required properties and approximates the post-stressed correlation matrix best. Other correlation stress tests might meet all the mathematical properties, but have very low computational speed for high-dimensional correlation matrices. The stress test developed in this chapter decomposes the empirical correlation matrix into eigenvalues and eigenvectors and then perturbs one or several eigenvalues while keeping the eigenvectors unchanged. The post-stressed correlation matrix is then automatically positive semi-definite and the computational speed is high. To select and interpret the stressed scenarios, we adopt the Random Matrix Theory to filter information eigenvalues and eigenvectors from noise eigenvalues and eigenvectors. We also use the same theory to differentiate the macro-level eigenvalues and eigenvectors from the micro-level eigenvalues and eigenvectors. We empirically implement our algorithm to the Chinese equity market and conduct some tentative correlation stress tests. All in all, our stress tests show good potential to generate hypothetical extreme scenarios and replicate historical extreme events.

Diese Dissertation besteht aus drei Forschungsarbeiten, die die unterschiedlich interessanten Themen des Portfolio-Risikos untersuchen. Portfolio Risikomanagement ist von wachsendem Interesse für Investoren, Regulatoren und Praktiker, besonders in Zeiten von Wirtschafts- und Finanzkrisen. Einerseits könnten Investoren eine unterschiedliche und zeitvariable Risikopräferenz haben und Praktiker müssen ein allgemein optimales Portfolio aussuchen, um der Risikopräferenz ihrer Agenten zu entsprechen. Allerdings leidet die oft verwendete Mean-Variance Technik für Portfolio-Selektion an der Einschränkung, kein allgemein optimales Portfolio für alle risikoaversen Investoren generieren zu können. Daher sind neue Techniken für eine verbesserte Portfolio-Selektion wünschenswert, um die traditionelle Mean-Variance Technik zu ergänzen. Andererseits, wenn das optimale Portfolio erst einmal ausgewählt ist, werden Investoren und Aufsichtsbehörden dazu neigen, mit ihrem Portfolio-Risiko in einer vorausschauenden Art und Weise umzugehen. Und auch Praktiker werden gefordert sein, verschiedene Berichte über die Risikofaktoren des finanziellen Standes ihres Portfolios zur Verfügung zu stellen. Stresstests werden regelmäßig dazu verwendet, Risiken eines Portfolios in einer vorausschauenden Form darzustellen. Der Korrelation Stresstest spielt hierbei eine bedeutende Rolle. Jedoch sind die aktuellen Korrelation Stresstests darauf begrenzt, eine hochdimensionale Korrelationsmatrix effizient zu stören und in der Zwischenzeit alle mathematischen Eigenschaften beizubehalten. Daher sollte ein einfacher und effizienter Korrelation Stresstest entwickelt werden, um Anpassungen einer hochdimensionalen Korrelationsmatrix zu ermöglichen und um alle mathematischen Eigenschaften einer gültigen Korrelationsmatrix einfach zu erfüllen.

Die ersten beiden Papiere dieser Dissertation untersuchen das stochastisches Dominanz-Verfahren (Zweiter Ordnung) der Portfolio-Selektion. Das dritte Papier entwickelt einen neuen Korrelation Stresstest, um das Portfoliorisiko zu bewerten. Das erste Kapitel dieser Dissertation bietet eine ausgewählte Literaturrecherche über die Regeln stochastischer Dominanz, verschiedene Tests und deren Anwendung bei der Auswahl von Portfolios. Mittels verschiedener Stichprobeverfahren und durch Simulationen verursachte Daten-Kontamination vergleicht diese Umfrage die Wertentwicklung der meistverwendeten stochastischen Dominanz-Tests Zweiter und Dritter Ordnung. Für jede simulierte Stichprobe fand ich zuerst diejenigen stochastischen Tests Zweiter Ordnung, deren Größe unverändert blieb und die eine hohe Wertentwicklung hatten. Unter den Tests mit guter Wertentwicklung empfehle ich, den Test mit der höchsten Rechengeschwindigkeit in die Praxis zu umzusetzen. Kaur, Prakasa und Singhs 1994) stochastischer Dominanz-Test Zweiter Ordnung wird für einige seriell unabhängige Stichproben empfohlen. Der stochastische Dominanz-Test Zweiter Ordnung von Linton, Maasoumi und Whangs (2005) wird besonders für stark seriell korreliert Stichproben empfohlen. Hingegen wird der stochastischer Dominanz-Test Zweiter Ordnung von Davidson and Duclos (2006) and Davidson (2007) dann empfohlen, wenn andere Tests nicht mehr ausreichen oder für den Fall, dass eine Dominanz dringend bestätigt werden muss. Obwohl der Test von Linton, Maasoumi und Whang (2005) in seriell schwach abhängigen Stichproben und unter sehr restriktiven Simulations-Einstellungen gut funktioniert, kann hinsichtlich stochastischer Dominanz Dritter Ordnung und unter seriell stark abhängige Stichproben keiner der genannten Tests reibungslos durchgeführt werden. In Bezug auf die Daten-Kontamination bleibt der Test von Linton, Maasoumi und Whangs (2005) robust, wenn es bis zu 5% Kontamination gibt und die Stichprobengrößen groß sind (z. Bsp. 500). Davidson and Duclos (2006) and Davidson (2007) Test bleibt robust, wenn es bis zu 1% Daten-Kontamination gibt und die Stichproben nicht kleiner als 100 sind. Soweit mir bekannt, ist dies die erste Studie, die die Wertentwicklung stochastischer Dominanz-Test Dritter Ordnung untereinander vergleicht. Darüber hinaus überprüft und fasst diese Umfrage auch zum allersten Mal die meistverwendeten linearen Programme Zweiter stochastischer Ordnung zur Portfolio-Selektion zusammen.

Das zweite Kapitel dieser Arbeit konzentriert sich auf die Portfolio-Selektion, basierend auf den stochastischen Dominanz-Regeln Zweiter Ordnung. Die traditionelle Mean-Variance-Technik setzt entweder quadratische Nutzenfunktionen oder eine normale Renditeverteilung voraus. Sie findet jedoch auf abgeschrägte Verteilungen und eine heterogene Risikopräferenz der Investoren nur begrenzt Anwendung. Ihr optimales Portfolio generiert zwar extreme Portfoliogewichte, hat aber außerhalb der Stichprobe keine gute Wertentwicklung. Im Gegensatz dazu bieten die stochastischen Dominanz-Regeln Zweiter Ordnung eine attraktive Alternative zur Mean-Variance-Technik. Sie eignen sich für alle risikoaversen Investoren und beinhalten abgeschrägte Renditeverteilungen und eine heterogene Risikopräferenz. Das optimale Portfolio, ausgewählt von den stochastischen Dominanz-Regeln Zweiter Ordnung, generiert stabile Portfolio-Gewichte und seine Wertentwicklung über verschiedene Zeiträume und außerhalb der Stichprobe ist im Allgemeinen besser als die Wertentwicklung des optimalen Mean-Variance-Portfolios (Hodder, Jackwerth und Kolokolova, 2009). Allerdings sind die meisten linearen Programme zur stochastischen Dominanz in der Literatur dazu entwickelt worden, zu testen, ob ein gegebenes Portfolio effizient ist, wenn es durch stochastischen Dominanz-Regeln Zweiter Ordnung bewertet wurde.

Es gibt sehr wenige lineare Programme mit Schwerpunkt auf Portfolio-Konstruktion durch stochastische Dominanz. In diesem Kapitel schlage ich einen Algorithmus, der sich mittels der stochastischen Dominanz-Regeln Zweiter Ordnung einem optimalen Portfolio annähert. Ich benutze zuerst das minimale Manko des linearen Programmes von Rockafellar und Uryasev (2000), um das minimale Manko des effizienten Sets herzustellen, das eine Teilmenge des effizienten Sets der stochastischen Dominanz Zweiter Ordnung ist. Anschließend wähle ich als Benchmark innerhalb des minimalen Mankos des effizienten Sets das Portfolio als optimal, welches aus dem Portfolio mit dem höchsten statistische Support von Davidson and Duclos (2006) and Davidson (2007) stochastischer Dominanz Zweiter Ordnung hervorgeht. Das optimale Portfolio wird dann automatisch effizient, wenn es durch die stochastischen Dominanz-Regeln Zweiter Ordnung ausgewertet wird und die Rechengeschwindigkeit dabei angemessen ist. Ich zeige dabei, dass sich das minimale Manko des optimalen Portfolios der Wertentwicklung des optimalen Portfolios stochastischer Dominanz Zweiter Ordnung durch Simulation und empirische Umsetzung annähert.
Das dritte Kapitel dieser Dissertation entwickelt einen neuen Korrelation Stresstest für hochdimensionale Korrelationsmatrizen. Dieser entstand in Zusammenarbeit einem ehemaligen Kollegen der Marie Curie Stiftung. Stress-Tests einer Korrelationsmatrix sind keine leichte Aufgabe, weil die gestresste Korrelationsmatrix wahrscheinlich eine oder mehrere der erforderlichen mathematischen Eigenschaften, wie z. Bsp. das positive Semidefinit, verliert. Einige in der Literatur oft verwendete Korrelation Stresstests versuchen, eine gültige Korrelationsmatrix zu finden, die alle erforderlichen Eigenschaften erfüllt und sich der gestressten Korrelationsmatrix am besten annähert. Andere Korrelation Stresstests erfüllen möglicherweise zwar alle mathematischen Eigenschaften, haben aber eine sehr geringe Rechengeschwindigkeit für hochdimensionale Korrelationsmatrizen. Der in diesem Kapitel entwickelte Stress-Test zerteilt die empirische Korrelationsmatrix in Eigenwerte und Eigenvektoren, stört anschließend einen oder mehrere Eigenwerte und lässt die Eigenvektoren unverändert. Die gestresste Korrelationsmatrix ist dann automatisch positiv semidefinit und die Rechengeschwindigkeit ist hoch. Um die gestressten Szenarien auszuwählen und zu interpretieren, nehmen wir die Theorie der Zufälligkeits-Matrix und filtern Informations-Eigenwerte und Informations-Eigenvektoren aus den störenden Eigenwerte und Eigenvektoren heraus. Wir verwenden diese Theorie auch, um die Makro-Eigenwerte und Makro-Eigenvektoren von den Mikro-Eigenwerten und Mikro-Eigenvektoren zu unterscheiden. Wir wenden unsere Stresstests beispielhaft auf den chinesischen Aktienmarkt an und führen einige vorläufige Korrelation Stresstests durch. Der Stresstest des größten Eigenwertes entspricht zum Beispiel einem Marktschock aller Aktienbestände. Ein solches Szenario könnte den historischen Konjunktureinbruch nach 2008 nachstellen. Der Stresstest für den drittgrößten Eigenwertes entspricht einem Industrieschock für Immobilienaktien. Ein solches Szenario könnte ein hypothetisch extremes Ereignis nachahmen, wenn die Immobilienbranche abgestürzt ist. Insgesamt zeigt unser Stresstest ein gutes Potenzial, hypothetisch extreme Szenarien zu generieren und historische Extremereignisse zu replizieren.