State and Parameter Estimation in Quantum Theory

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Datum
2003
Autor:innen
Kubitzki, Marcus
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Forschungsvorhaben
Organisationseinheiten
Zeitschriftenheft
Publikationstyp
Masterarbeit/Diplomarbeit
Publikationsstatus
Published
Erschienen in
Zusammenfassung

Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Schätzung von Parametern und Zuständen
in der Quantentheorie. Die Theorie verallgemeinerter Quantenmessungen,
vorgestellt in Kapitel 2, bildet hierzu den begrifflichen Rahmen.

Der erste Teil der Arbeit, Kapitel 3 und 4 umfassend, untersucht die Balance zwischen der durch Messung gewonnenen Information und der hierdurch am System verursachten Störung. Für Einzelmessungen an einem einzigen System wird dieser qualitative Kompromiß quantitativ in Form der Fidelities F und G untersucht, insbesondere für Qubits und Messung selbiger vermittels der Klasse unscharfer Messungen. Sie bestehen aus kommutierenden Effekten und können als 'verschmierte' Versionen gewöhnlicher hermitescher Observablen, wie z.B. Energie oder Spin, interpretiert werden. Es wird gezeigt, daß die optimale Balance zwischen Informationsgewinn und Störung eine einfache Nebenbedingung an die Parameter liefert, die diese unscharfen Qubit-Messungen charakterisieren.

Die FG-Ebene liefert eine anschauliche Darstellung der Fidelity-Balance. Für
Qubits kann sie ausgedrückt werden durch jene Parameter, die die unscharfe
Qubit-Messung repräsentieren. Diese Parametrisierung enthüllt eine einfache
Struktur, die minimale von nicht-minimalen Messungen trennt (Kraus Operatoren
nicht-minimaler Messungen enthalten einen nicht-trivialen unitären Anteil in
ihrer polaren Zerlegung). Es zeigt sich, daß nicht-minimale Messungen die
optimale Fidelity-Balance deutlich verschlechtern.

Ist vor einer Messung nichts über den zu schätzenden reinen Qubit-Zustand
bekannt, kann eine unitäre 'back-action', d.h. eine nicht-minimale Messung,
die Fidelity F nicht erhöhen. Existiert nun aber Vorinformation über den
Zustand, dann verbessert - wie in Kapitel 4 gezeigt wird - diese
Information zusammen mit einer passend gewählten 'back-action' die Fidelity,
welche für minimale Messungen mit Vorinformation berechnet wurde. Letztere
kann ihrerseits größer oder kleiner sein als die Fidelity, berechnet für den
Fall daß keine Vorinformation über das Qubit existiert; Information bedeutet
nicht unbedingt eine höhere Fidelity. Interessanterweise kann die Fidelity
unter Einbeziehung von Vorinformation und diesen speziellen nicht-minimalen
Messungen höher ausfallen als die Fidelity ohne Vorinformation.

Im zweiten Teil der Arbeit, bestehend aus den Kapiteln 5 und 6, verschiebt sich der Schwerpunkt auf die Schätzung von Parametern, die die Dynamik eines Qubits charakterisieren. Aufbauend auf füheren Arbeiten [Aud01,Aud02c] zur
Echtzeit-Visualisierung von Rabi-Oszillationen mittels Sequenzen unscharfer
Messungen (N-Serien), werden verschiedene Schätzverfahren für den Parameter
$|c_1|^2$ entwickelt und verglichen. Die ursprünglich vorgeschlagene Schätzung [Aud01] wurde im Hinblick auf Erwartungstreue konstruiert, ein Kriterium aus der klassischen Schätztheorie. Ein zweites Verfahren wird mit Hilfe der 'maximum likelihood'-Methode abgeleitet. Diese Schätzung macht jedoch keinerlei Gebrauch von eventuell vorhandener Vorinformation über den Qubit-Zustand. Das dritte Schätzverfahren ('Bayesian estimator') bezieht solche Informationen über den Satz von Bayes mit ein. Um alle Schätzungen vergleichen zu können, wird ein mittleres Fehlerquadrat konstruiert um ein Gütemaß zu erhalten. Mit Hilfe dieses Maßes kann gezeigt werden, daß für eine N-Serie das Schätzverfahren von Bayes
sowohl dem 'maximum likelihood'- als auch dem ursprünglichen Verfahren
überlegen ist. Letzteres ist seinerseits dem 'maximum likelihood'-Verfahren
unterlegen, d.h. die ursprüngliche Schätzung hat ein größeres mittleres
Fehlerquadrat.

Zusammenfassung in einer weiteren Sprache

Several aspects of state and parameter estimation in quantum theory are studied in this work using the language of generalized measurements (POVM measurements).

In the first part, comprising chapters 3 and 4, the delicate balance between information gained from a measurement and thereby induced state disturbance is investigated. For one measurement (mapping pure states to pure states) on a single system, the resulting trade-off [Ban01a] in terms of mean operation fidelities F and G is investigated for qubits and a special class of qubit POVMs. This special class consists of measurements with commuting effects. Such unsharp measurements can be interpreted in terms of ordinary observables, as for example, energy or spin. The optimal balance between information gain and disturbance is determined to be a simple constraint, restricting the parameters
characterizing these unsharp measurements.

A clear visualization of the trade-off is provided by the FG-plane. Here,
the trade-off can be expressed in terms of parameters characterizing the
unsharp qubit POVM. This parametrization reveals a simple structure,
separating minimal from non-minimal measurements (Kraus operators of
non-minimal measurements have a non-trivial unitary back-action term in their
polar decomposition). Non-minimal measurements are found to deteriorate the
optimal balance noticeably.

If nothing is known a priori about the pure qubit state to be estimated, a
unitary back-action term, i.e. non-minimal measurements, can not improve on
the mean operation fidelity F. If, however, a priori information about the
qubit is available, then - as is shown in chapter 4 - a suitably chosen back-action improves on the mean operation fidelity, calculated
for minimal measurements and a priori information. The latter fidelity, in
turn, can be larger or smaller than the mean operation fidelity calculated if
no a priori information about the qubit exists; that is, information not
necessarily implies a higher fidelity. Interestingly, the mean operation
fidelity calculated for a priori information and non-minimal measurements,
containing this special back-action, can be higher than the mean operation
fidelity calculated if there is no a priori information.

In the second part, comprising chapters 5 and 6, focus is shifted to the estimation of parameters characterizing dynamics of a qubit. Building upon previous work on the real-time visualization of a qubit's Rabi oscillations which employs sequences of unsharp measurements (N-series), different estimation procedures are devised and compared. The originally proposed estimator [Aud01] was constructed to fulfill unbiasedness, a criterion used in classical estimation theory. The second estimator (guess) developed uses the maximum likelihood method. It discards, however, eventually available pre-measurement information about the qubit. The third guess (Bayesian estimator) takes this fact into account by means of Bayes' theorem.

To compare all guesses, a mean square deviation is constructed to define a
measure of quality. With this measure at hand, it is shown that for one
N-series, the Bayesian estimator is superior to the maximum likelihood - as
well as the original estimator. The latter, in turn, is inferior (i.e. has a
larger mean square deviation) to the maximum likelihood estimator.

Fachgebiet (DDC)
530 Physik
Schlagwörter
Schätztheorie, minimale / nicht-minimale Messungen, unitäre back-action, qubits, Vorinformation, quantum estimation theory, unitary back-action, pre-measurement information, fidelity balance, POVM measurements
Konferenz
Rezension
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Zitieren
ISO 690KUBITZKI, Marcus, 2003. State and Parameter Estimation in Quantum Theory [Master thesis]
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