Analysis of Lattice-Boltzmann Methods : Asymptotic and Numeric Investigation of a Singularly Perturbed System
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Gitter-Boltzmann Methoden stellen eine verhältnismäßig neue Klasse numerischer Verfahren dar zur Lösung evolutionsartiger partieller Differentialgleichungen. Im Gegensatz zu Standardmethoden aus dem Bereich der finiten Differenzen bzw. finiten Elemente realisieren Gitter-Boltzmann Verfahren einen mesoskopischen (kinetischen) Ansatz. Die Kernidee besteht darin, eine gitterbasierten Pseudo-Teilchendynamik zu formulieren. Es stellt sich dabei heraus, daß gewisse gemittelte Größen die Lösungen bestimmter Differentialgleichungen approximieren, welche vor allem einem strömungsmechanischen Hintergrund entstammen. Allerdings ist die Konsistenz der Gitter-Boltzmann Verfahren keineswegs offensichtlich, nicht zuletzt weil sie in enger Beziehung zu singulär skalierten Boltzmanngleichungen mit endlichen Geschwindigkeitsmodellen stehen.
Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Analyse von Gitter-Boltzmann Verfahren. Besonderes Augenmerk gilt dabei einigen 'numerischen Phänomenen' wie dem Auftreten von Anfangsschichten, der Existenz mehrerer Zeitskalen und dem Zustandekommen von Randschichten. Beim Konsistenznachweis dienen reguläre asymptotische Entwicklungen (Hilbert Entwicklungen)als zentrales Hilfsmittel. Beispielhaft werden Gitter-Boltzmann Algorithmen in einer Raumdimension mit zwei und drei Populationen untersucht. Dabei wird zunächst gezeigt, wie sich diese Modellalgorithmen zur Diskretisierung der Advektions-Diffusions Gleichung aus
zweidimensionalen Algorithmen unter Ausnutzung spezieller Symmetrieeigenschaften ergeben.
Der Analyse der eigentlichen Schemata vorangestellt ist eine Untersuchung des singulären Grenzwerts bei einer Boltzmanngleichungen mit zwei bzw. drei Geschwindigkeiten. Alternativ lassen sich hier Konvergenzbeweise mittels einer Fourier-Entwicklung bzw. einer allgemeinen regulären Entwicklung kombiniert mit einer Energieabschätzung erzielen. Anfangsschichten werden mittels irregulärer Entwicklungen bzw. Multiskalen-Entwicklungen aufgelöst. Unter anderem stößt man dabei auf eine Hierarchie von Gleichungen, welche Aufschluß über die interne Kopplung der Anfangsschicht mit dem regulären Teil der Lösung geben.
Anschließend wird die Konsistenz der Modellalgorithmen betrachtet, gefolgt von einer Stabilitätsanalyse. Neben etlichen Stabilitätsbeweisen (woraus Konvergenz der jeweiligen Verfahren gefolgert werden kann) wird das Spektrum des diskreten Evolutionsoperators einer genauen Untersuchung unterzogen. Darauf aufbauend läßt sich zeigen, daß sich die CFL-Bedingung sowie Stabilität im Falle eines Zwei-Populationen Algorithmus für die Advektionsgleichung gegenseitig bedingen. Au\ss erdem wird die Möglichkeit erörtert, inwieweit verläßliche Stabilitätsaussagen auch anhand einer formalen Analyse gewonnen werden können.
Um Erfahrung mit numerischen Randschichten für zukünftige Untersuchungen zu sammeln, wird abschließend eine finite Differenzen Diskretisierung für die eindimensionale Poisson Gleichung betrachtet, welche eine Randschicht erzeugt.
Zusammenfassung in einer weiteren Sprache
Lattice-Boltzmann algorithms represent a quite novel class of nu-merical schemes, which are used to solve evolutionary partial differential equations (PDE). In contrast to finite difference and finite element schemes, lattice-Boltzmann methods rely on a mesoscopic (kinetic) approach. The essential idea consists in setting up an artificial, grid-based particle dynamics, which is chosen such that appropriate averages provide approximate solutions of a certain PDE, typically in the area of fluid dynamics. As lattice-Boltzmann schemes are closely related to finite velocity Boltzmann equations being singularly perturbed by special scalings, their consistency is not obvious, however.
This work is concerned with the analysis of lattice-Boltzmann methods, where a particular interest lies in some numeric phenomena like initial layers, multiple time scales and boundary layers. As major analytic tool, regular expansions (Hilbert expansion) are employed to establish consistency. Exemplarily, two and three population algorithms are studied in one space dimension, mostly discretizing the advection-diffusion equation. It is shown how these model schemes' can be derived from two dimensional schemes in the case of special symmetries.
The analysis of the schemes is preceded by an examination of the singular limit being characteristic of the corresponding scaled finite velocity Boltzmann equations. Convergence proofs are obtained using a Fourier series approach and alternatively a general regular expansion combined with an energy estimate.
The appearance of initial layers is investigated by multiscale and irregular expansions. Among others, a hierarchy of equations is found which gives insight into the internal coupling of the initial layer and the regular part of the solution.
Next, the consistency of the model algorithms is considered followed by a discussion of stability. Apart from proving stability for several cases entailing convergence as byproduct, the spectrum of the evolution operator is examined in detail. Based on this, it is shown that the CFL-condition is necessary and sufficient for stability in the case of a two population algorithm discretizing the advection equation. Furthermore, the presentation touches upon the question whether reliable stability statements can be obtained by rather formal arguments.
To gather experience and prepare future work, numeric boundary layers are analyzed in the context of a finite difference discretization for the one-dimensional Poisson equation.
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RHEINLÄNDER, Martin Kilian, 2007. Analysis of Lattice-Boltzmann Methods : Asymptotic and Numeric Investigation of a Singularly Perturbed System [Dissertation]. Konstanz: University of KonstanzBibTex
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