Obwohl die Ursprünge der Elastizitätstheorie bis ins Jahr 1678 zu Robert Hooke zurückreichen, gibt es selbst im 21. Jahrhundert noch offene fundamentale Fragen auf diesem Gebiet. Die mikroskopische Definition des Verschiebungsvektors ist ungültig, wenn man Kristalle mit Punktdefekten, wie zum Beispiel Leerstellen oder Zwischengitteratome, betrachtet. Dagegen ist die Existenz eines Verschiebungsfeldes sicher gestellt, wie man an phänomenologischen Gleichungen der Hydrodynamik erkennen kann. Ein Hauptresultat dieser Arbeit ist nun eine Definition des mikroskopischen Verschiebungsfeldes, die im Rahmen der linearen Antworttheorie und des Zwanzig-Mori Projektionsoperator-Formalismus abgeleitet wird. Als wichtigste physikalische Eigenschaft des Systems erweist sich in diesem Zusammenhang die Periodizität der Gleichgewichtsdichte, sowie die Symmetrie der Zweipunkts-Korrelationsfunktion der Dichtefluktuationen. Als weiteres Hauptergebnis wurden mikroskopische Ausdrücke für die elastischen Konstanten als Funktion der direkten Korrelationsfunktion des Kristalls bestimmt. Dabei wurde insbesondere auf die Unterschiede zwischen der Beschreibung mit verschiedenen unabhängigen Variablen eingegangen, also bei konstanter Teilchenzahldichte sowie bei konstanter Defektdichte.
Im ersten Kapitel wird das physikalische System mit den relevanten Eigenschaften vorgestellt, sowie die theoretischen Methoden aus der Nichtgleichgewichts-Statistischen Physik. Die phänomenologischen Gleichungen der verallgemeinerten Hydrodynamik eines Kristalls werden wiederholt, bevor auf die mikroskopische Theorie (lineare Antworttheorie und Zwanzig-Mori Projektionsoperator-Formalismus) eingegangen wird, die, aufgrund Onsagers Regressionshypothese, im hydrodynamischen Limes die Gleichungen der linearen Hydrodynamik reproduzieren. Der Vorteil dieser Methode ist, dass mikroskopische Ausdrücke für die phänomenlogischen Parameter zur Verfügung stehen.
Im zweiten Kapitel, dem Hauptkapitel, wird dieses Verfahren auf einen Kristall angewendet. Zunächst wird die Wahl der Fourierkomponenten der Dichte als hydrodynamische Variablen durch das Bogoliubov-Argument begründet und die benötigten Matrixelemente des Formalismus bestimmt. Dabei wird die Ornstein Zernike Gleichung der Dichtefunktionaltheorie zusammen mit der Symmetrie der Zweipunkts-Korrelationsfunktion der Dichtefluktuationen angewendet. Um mit den "konventionellen" hydrodynamischen Variablen eines Kristalls vergleichen zu können, stellt sich die Frage, wie die Fourierkomponenten der Dichte mit dem Verschiebungsfeld und der Defektdichte (bzw. der hydrodynamischen Dichtefluktuation) zusammenhängen. Dies wird erreicht über Wellengleichungen für die Impulsdichte und das Verschiebungsfeld. Aus Vergleichen mit der prinzipiellen Struktur der hydrodynamischen Gleichungen (bekannt aus der Phänomenologie) ergibt sich eine Definition des Verschiebungsfeldes und der hydrodynamischen Dichtefluktuation. Ein von diesen Definitionen unabhängiges Ergebnis sind Ausdrücke, die die elastische Antwort eines Kristalls beschreiben.
Im dritten Kapitel werden die hydrodynamischen Gleichungen detailliert diskutiert. Aus der Invarianz unter einer globalen Translation erhält man die Abhängigkeit vom Wellenvektor im hydrodynamischen Limes, während die Invarianz unter einer globalen Rotation Symmetrien ergibt, die den makroskopischen Voigt-Symmetrien der Elastizitätstheorie entsprechen. Der explizite Ausdruck für die elastischen Konstanten wird abgeleitet, und mit bekannten Ausdrücken (Ableitungen des Kristallpotentials) verglichen.
Im vierten Kapitel wird auf die Definition des Verschiebungsfeldes eingegangen. Dabei werden alternative Motivationen präsentiert, die zur Definition des Verschiebungsfeldes führen. Eine Beschreibung basiert auf der Kontinuumsmechanik, der andere auf einer Ähnlichkeit zu sogenannten Blochfunktionen. Im letzten Teil dieses Kapitels wird eine erste Anwendung der Definition des Verschiebungsfeldes gezeigt und mit bekannten Resultaten verglichen.
Da insbesondere Kapitel 2 sehr knapp gehalten wurde, ist der Anhang umfangreicher ausgefallen. In Anhang A wird der Formalismus mit den konventionellen hydrodynamischen Variablen des Kristalls wieder gegeben. In Anhang B werden unter einschränkenderen Annahmen als im Hauptteil Ausdrücke für die freie Energie und eine verallgemeinerte dynamische Matrix abgeleitet. Im letzten Anhang C wird eine Verallgemeinerung des Strukturfaktors von Flüssigkeiten zu Kristallen, sowie auf eine entsprechende Verallgemeinerung der Kompressibilität eingegangen.

In this work a periodic crystal with point defects is described in the framework of hydrodynamic theory. The main results are microscopic expressions for elastic constants and displacement fields which are valid in the presence of point defects.
In the first chapter a periodic crystal and its relevant properties are introduced. Those are the elastic response to static shear deformations, the periodicity of the equilibrium density and of the two-point correlation function of the density fluctuations, as well as point defects, which preserve the periodicity. The second part of the first chapter describes the theoretical method. Linear response theory together with the Zwanzig-Mori projection operator formalism is used to derive generalized hydrodynamics.
The second chapter contains the main part of this thesis. With the help of the Bogoliubov argument the Fourier components of the density are identified as broken symmetry variables, and, together with the momentum density, are used as hydrodynamic variables. The non-trivial correlation of density fluctuations is derived with the exact Ornstein Zernike equation of density functional theory and the symmetry properties of the two-point correlation function. The identification of the constants of elasticity is achieved via a wave equation for the momentum density, which made it independent from the definition of the displacement field. Comparison with the phenomenological equations shows, that the thus defined microscopic expression has to reduce to the wave propagation matrix in the hydrodynamic limit.
The wave equation for the variation of the order parameter yields definitions for a hydrodynamic displacement field and variation of total density in terms of the Fourier components of the density. A comparison with the displacement field and density as hydrodynamic variables instead of the Fourier components of the density reminds us, that one has to distinguish between expressions (e.g. the dynamical matrix) at constant density and at constant defect density. Those are the consequence of changing the set of independent variables, and are related via thermodynamic manipulations.
The third chapter discusses in detail the microscopic expressions derived in chapter 2. The LMBW equation, which is a consequence of invariance under translations, yields the correct wave vector dependence of the hydrodynamic equations of motion, if compared with the phenomenological equations. Rotational invariance is the reason for symmetry in the indices of the constants of elasticity. This symmetry then leads to combinations, which are the elastic constants. The manipulations are totally equivalent to the elastic constants in terms of second derivatives of the crystal potential. The equivalence is shown with an integration by parts and the mean spherical approximation.
In chapter 4 the discussion of the definition of the displacement field is resumed. It is argued that the definitions are also valid for microscopic expressions, and the expressions in real space are stated. Alternative motivations for the definitions are presented. The first is in the context of continuum elasticity theory, whereas in the second one use is made of the description in terms of Bloch functions. The chapter closes with a first application of the method, which shows the difference between the Lagrangian description of the displacement vector and the Eulerian picture of the displacement field.
Supplementary material is presented in the appendices. Appendix A presents the derivation of the hydrodynamic equations of motion with the more conventional displacement field as broken symmetry variable. In appendix B familiar expressions for the free energy and the dynamical matrix are shown. The results are obtained under more restrictive assumptions than the exact Ornstein Zernike equation. One approximation is a second order expansion in terms of density fluctuations, another the substitution of the microscopic fluctuations with hydrodynamic ones in the correlation function. Appendix C deals with the generalization of the structure factor of a fluid to a crystal, and of the compressibility.