Asymptotic Statistical Theory for Long Memory Volatility Models
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In this thesis, statistical theory for time series with conditional heteroskedasticity and long memory in volatility is studied. We present appropriate models and consider several problems regarding parametric estimation. First, we discuss the question whether the asymptotic properties of M-estimators of location are affected by slowly decaying autocorrelations in squares. It turns out that under certain symmetry assumptions, consistency and the usual central limit theorem still hold. On the other hand, deviations from these assumptions can lead to non-standard behavior, in particular non-gaussian limiting distributions. For the asymptotic analysis, a connection to Appell polynomials and linear long memory processes is derived. Furthermore, we focus on the parametric LARCH model and investigate a modified conditional maximum likelihood estimator. Consistency and asymptotic normality are derived. The proofs differ substantially from the case of related models such as ARCH($\infty$), since the volatility of a LARCH process is not separated from zero. Moreover, the long memory property leads to additional difficulties, for instance a slower rate of convergence. Consequently, we discuss the question how more efficient estimators can be defined for models with slowly decaying autocorrelations. Therefore, we exploit the result that long memory can be explained by contemporaneous aggregation. Based on a panel scheme of random AR(1) processes, a new estimator for the long memory parameter of the aggregated process is introduced and asymptotic properties are proven. The results indicate that the described procedure could lead to improved statistical methods, in particular for heteroskedastic models with long memory.
Zusammenfassung in einer weiteren Sprache
In der vorliegenden Arbeit werden statistische Methoden für Zeitreihen mit bedingter Heteroskedastizität und langfristigen Abhängigkeiten in der Volatilität untersucht. Es werden entsprechende stochastische Prozesse vorgestellt und verschiedene Probleme im Zusammenhang mit Parameterschätzung behandelt. Zunächst studieren wir die Frage, ob langsam fallende Autokorrelationen die asymptotischen Eigenschaften von M-Schätzern für Lokationsparameter beeinflussen können. Es stellt sich heraus, dass dies nicht der Fall ist, wenn bestimmte Symmetriebedingungen erfüllt sind. Andererseits ergibt sich bei Abweichungen von diesen Bedingungen ein unterschiedliches Verhalten, insbesondere muss die Grenzverteilung nicht mehr normalverteilt sein. Für die Herleitung der asymptotischen Ergebnisse wird ein Zusammenhang zu Appell-Polynomen und linearen Prozessen mit langfristigen Abhängigkeiten hergeleitet. Desweiteren konzentrieren wir uns auf das parametrische LARCH-Modell und untersuchen bedingte Maximum-Likelihood-Schätzer. Konsistenz und asymptotische Normalität werden gezeigt, wobei sich die Beweise wesentlich von den Methoden für ähnliche Modelle wie ARCH($\infty$) unterscheiden. Der Grund dafür liegt hauptsächlich in der Tatsache, dass die Volatilität eines LARCH-Prozesses beliebig klein werden kann. Ferner führen die langfristigen Abhängigkeiten zu weiteren Schwierigkeiten wie etwa einer langsameren Konvergenzrate. Dadurch stellt sich die Frage, wie sich effizientere Methoden für solche Zeitreihen definieren lassen. Dabei greifen wir das Ergebnis auf, dass langfristige Abhängigkeiten durch Aggregation einfacherer Basisprozesse erzeugt werden können, und betrachten ein Panel-Schema mit AR(1)-Prozessen und zufälligen Koeffizienten. In diesem Modell wird basierend auf Schätzern für die Basisprozesse eine neue Schätzmethode für den aggregierten Prozess eingeführt. Die Ergebnisse zeigen, dass das beschriebene Vorgehen zu effizienteren Schätzern führen kann, insbesondere bei heteroskedastischen Modellen mit langfristigen Abhängigkeiten.
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ISO 690
SCHÜTZNER, Martin, 2009. Asymptotic Statistical Theory for Long Memory Volatility Models [Dissertation]. Konstanz: University of KonstanzBibTex
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