Adiabatic theorems for general linear operators and well-posedness of linear evolution equations

Abstract

We present simplifications and generalizations of classic well-posedness theorems by Kato and Yosida for non-autonomous linear evolution equations, as well as simple new counterexamples to well-posedness. We also establish, under mild stability and regularity assumptions, a well-posedness theorem for linear operators whose first or higher commutators are complex scalars. We apply this result to Segal field operators and related operators describing classical particles in a time-dependent bosonic field, and to Schrödinger operators describing particles in a time-dependent electric field. We then establish adiabatic theorems with and without spectral gap conditions for general linear operators with time-independent or time-dependent domains in a Banach space. In these theorems, the considered spectral values need not be (weakly) semisimple. We explore the strength of our theorems in numerous examples and give applications, among other things, to weakly dephasing open quantum systems, and to adiabatic switching procedures thus obtaining a general Gell-Mann and Low theorem. We also apply our general adiabatic theorems to operators defined by symmetric sesquilinear forms which comprise, for example, Schrödinger operators with time-dependent Rollnik potentials.

Wir stellen einige Vereinfachungen und Verallgemeinerungen klassischer Wohlgestelltheitssätze von Kato und Yosida vor sowie einfache neue Gegenbeispiele zur Wohlgestelltheit. Außerdem leiten wir unter schwachen Stabilitäts- und Regularitätsvoraussetzungen einen Wohlgestelltheitssatz für lineare Abbildungen her, deren erste oder höhere Kommutatoren komplexe Skalare sind. Wir wenden diesen Satz an auf Segalfeldoperatoren und verwandte Operatoren, die klassische Teilchen in einem zeitabhängigen bosonischen Feld beschreiben, und auf Schrödingeroperatoren, die Teilchen in einem zeitabhängigen Feld beschreiben. Wir leiten dann Adiabatensätze mit und ohne Spektrallückenbedingung her für allgemeine lineare Abbildungen mit zeitunabhängigen oder zeitabhängigen domains in einem Banachraum. In diesen Sätzen brauchen die betrachteten Spektralwerte nicht (schwach) halbeinfach zu sein. Wir loten die Stärke unserer Sätze in zahlreichen Beispielen aus und geben Anwendungen unter anderem auf schwach dephasierende offene quantentheoretische Systeme und auf adiabatische Anschaltvorgänge, wobei wir einen verallgemeinerten gell-mann und lowschen Satz erhalten. Außerdem wenden wir unsere allgemeinen Adiabatensätze an auf lineare Abbildungen, die über symmetrische Sesquilinearformen definiert sind, beispielsweise Schrödingeroperatoren mit zeitabhängigen Rollnikpotentialen.