On unipotent Specht modules of finite general linear groups

Abstract

Many outstanding problems in representation theory can be solved with a proper understanding of the irreducible unipotent modules for the finite general linear group GL_n(q).

For each partition lambda of n there is a Specht module S^lambda for GL_n(q), defined over a field F in terms of the intersection of the kernels of certain homomorphisms. If F is a field of characteristic zero, then S^lambda is irreducible and {S^lambda | lambda is a partition of n} is a complete set of pairwise non-isomorphic irreducible unipotent modules for GL_n(q). If the characteristic of F is coprime to q, then, in general, S^lambda has a unique top composition factor D^lambda and the D^lambda's are the irreducible unipotent modules for GL_n(q).

For each Specht module S^lambda, a generating element e_lambda is known but, in general, no explicit basis for S^lambda as a vector space over F has been found.

Richard Dipper and Gordon James made significant progress towards the construction of a basis of S^lambda for a two part partition lambda. This thesis is based on their work and further develops and improves the techniques introduced by them.

We consider bases of S^lambda which satisfy additional properties. Namely, we define the concept of a standard basis of S^lambda and the concept of a basis with corresponding polynomials of S^lambda. Against the background of these definitions we examine the Specht modules S^lambda for lambda=(n-m,m) and lambda=(2,2,2).

In the case of the two part partition lambda=(n-m,m) we find a standard basis of S^lambda if 0 < m < 12 and we conjecture that the techniques used there will work in general for lambda=(n-m,m). For lambda=(2,2,2) we construct a basis with corresponding polynomials of S^lambda.

Viele ungelöste Probleme in der Darstellungstheorie können mit einem geeigneten Verständnis der irreduziblen unipotenten Moduln der endlichen generellen linearen Gruppe GL_n(q) gelöst werden.

Für jede Partition lambda von n gibt es einen Spechtmodul S^lambda für GL_n(q), der über einem Körper F als Schnitt von Kernen gewisser Homomorphismen definiert ist. Ist F ein Körper der Charakteristik null, dann ist S^lambda irreduzibel und {S^lambda | lambda ist eine Partition von n} ist eine vollständige Menge von paarweise nicht isomorphen irreduziblen unipotenten FGL_n(q)-Moduln. Ist hingegen die Charakteristik von F koprim zu q, dann besitzt S^lambda im allgemeinen einen eindeutigen oberen Kompositionsfaktor D^lambda und die D^lambda sind die irreduziblen unipotenten FGL_n(q)-Moduln.

Für jeden Spechtmodul S^lambda ist ein erzeugendes Element e_lambda bekannt, aber im allgemeinen wurde noch keine explizite Basis von S^lambda als F-Vektorraum gefunden.

Richard Dipper and Gordon James haben einen großen Schritt in Richtung zu einer Basis von S^lambda gemacht, falls lambda eine Partition mit zwei Teilen ist. Meine Arbeit basiert auf ihrer Arbeit und entwickelt die dort eingeführten Techniken weiter.

Wir betrachten Basen von S^lambda, die zusätzliche Eigenschaften erfüllen. Und zwar definieren wir den Begriff einer Standardbasis von S^lambda und den Begriff einer Basis mit zugehörigen Polynomen von S^lambda. Vor dem Hintergrund dieser Definitionen untersuchen wir die Spechtmoduln S^lambda für lambda=(n-m,m) und lambda=(2,2,2).

Im Fall der 2-Teile-Partition lambda=(n-m,m) finden wir eine Standardbasis von S^lambda falls 0 < m < 12 und vermuten, dass die dazu verwendeten Techniken allgemein für lambda=(n-m,m) funktionieren. Für lambda=(2,2,2) konstruieren wir eine Basis mit zugehörigen Polynomen von S^lambda.