Finite Elemente Approximation mit web-Splines in der ebenen linearen Elastizität

Abstract

Bei der numerischen Behandlung von elliptischen Differentialgleichungen wird heute oft die Methode der Finiten Elemente, häufig mit FEM abgekürzt, verwendet. Bisher wurden hier meist Räume stückweiser nodaler Polynome verwendet, die eine Zerlegung des Gebietes in isoparametrische Dreiecke oder Vierecke voraussetzt. Ein neuer Ansatz, der in dieser Arbeit für Probleme der ebenen linearen Elastizität untersucht wird, besteht in der Methode der web-Splines (weighted extended b-splines), die am Mathematischen Institut A entwickelt wurde (siehe auch www.web-splines.de). Hierbei wird über das Gebiet ein regelmäßiges Gitter gelegt, den Ansatzraum bilden multivariate B-Splines, und die Einhaltung der Randbedingungen wird durch eine Gewichtsfunktion gesichert. Die web-Methode hat den Vorteil, dass die meist aufwendige Zerlegung des Gebietes in Dreiecke entfällt und eine Erhöhung des Ansatzgrades mit einer nur geringen Anzahl von neuen Freiheitsgraden verbunden ist. In der Arbeit wird zunächst auf die Theorie der ebenen Elastizität eingegangen, bevor dann die Methode der web-Splines vorgestellt wird. Anschliessend wird auf Themen der Existenz und Eindeutigkeit, der Stabilität sowie der Fehlerabschätzung näher eingegangen. Die gewonnenen Erkenntnisse werden dann anhand einfacher Beispiele verdeutlicht.

Zusammenfassend gibt die Diplomarbeit einen Einblick in die Methode der web-Splines und ihrer Anwendungsmöglichkeiten in der ebenen Elastizität.