Numerically exact studies of ultracold atoms on optical lattices

Abstract

We study properties of ultracold quantum gases trapped in 1D and under the influence of an underlying optical lattice. We analyze both fermionic and bosonic systems following different numerically exact approaches, like quantum Monte Carlo for soft-core bosons and two-species fermions, and a recently developed exact approach for HCB. The exposition is organized as follows.

In Chap. 2, we study single species degenerated fermions on 1D lattices. We show that a splitting of the system takes place in a region of the spectrum with eigenstates that have a non-vanishing weight only in a fraction of the system. We also show that if on top of the lattice an alternating potential is introduced, doubling the original periodicity, an additional slicing' of the system can be achieved. The width and number of such regions can be controlled in a given energy range by the amplitude of the new modulation. By filling these systems the ground state may exhibit insulating regions due to the presence of local gaps, which can be observed in the local density of states. As a complement to these 1D results we present in Appendix A results obtained in 2D lattices.

In Chap. 3 we review in some detail the two quantum Monte Carlo (QMC) techniques that are relevant to our study of confined soft-core bosons and two-species fermions on optical lattices, the worldline QMC and the zero temperature projector QMC, respectively. The basis of the classical Monte Carlo method are also presented, included a proof of the Central Limit theorem (Appendix B) that establishes its foundations.

Properties of soft-core bosons confined on optical lattices are presented in Chap. 4. QMC simulations show that due to the presence of the slowly varying confining potential the concept of commensurability, typical for periodic systems, loses its meaning. Mott domains appears for a continuous range of fillings and always coexist with superfluid phases, as it was mentioned before. The latter feature is reflected by the behavior of the global compressibility, which never vanishes. A local compressibility, proportional to the variance of the local density, is defined in order to characterize the local Mott-insulating phases. Finally, a phase diagram for trapped systems is also presented.

In Chap. 5 we study the ground state properties of two-components fermions confined on optical lattices. Like for the bosonic case, Mott domains also appear for a continuous range of fillings and always coexist with compressible phases. We define a local order parameter (that we denominate local compressibility), which characterizes the Mott insulating phases in an unambiguous way. By means of this local compressibility, we study in detail the interphase between the metallic and insulating region finding that critical behavior sets in revealing a new critical exponent. Furthermore, the behavior of the local compressibility and the variance of the density are found to be universal in this case, independently of the confining potential and the strength of the interaction, as usual in critical phenomena.

We present in Chap. 6 a recently developed exact numerical approach that allows to study ground state properties of HCB confined on 1-D lattices. This exact treatment is applied to study the off-diagonal behavior of the one-particle density matrix (OPDM) and related quantities in the equilibrium case. We find that the OPDM decays as a power-law x^-1/2 for large-x, irrespective of the confining potential chosen. The power-law above is shown to determine the scaling of the occupation of the lowest natural orbital in the thermodynamic limit. This scaling and its finite size corrections are also studied for arbitrary powers of the confining potential. In addition, we find a power-law decay of the NO occupations at low densities, and show that its exponent is also universal. The low density limit in the lattice, equivalent to continuous systems, is also analyzed in detail.

The approach above is generalized in Chap. 7 to study the non-equilibrium dynamics of HCB in 1-D configurations with an underlying lattice. The presence of the lattice enables the creation of pure Fock states of HCB (a HCB per lattice site) where there is no coherence in the system. We show that quasi-long range correlations develop in the equal-time-one-particle density matrix when such states are allowed to evolve freely, and that they lead to the formation of quasi-condensates of HCB at finite momentum. In addition,we obtain an universal power-law describing the population of the quasi-condensate as a function of time. Finally, we discuss how such systems can be used to create atom lasers with a wave-length that can be controlled through the lattice parameter.

In dieser Arbeit untersuchen wir die Eigenschaften eindimensionaler ultrakalter Quantengase in einer Falle und in optischen Gittern. Wir analysieren sowohl fermionische als auch bosonische System mit verschiedenen numerisch exakten Methoden, wie etwa Quanten Monte Carlo für soft-core Bosonen und zweikomponentige Fermionen sowie eine vor kurzem entwickelte exakte Methode für HCB. Die Gliederung der Arbeit ist wie folgt:

Im Kapitel 2 untersuchen wir einfache entartete Fermionen in eindimensionalen Gittern. Wir zeigen, dass innerhalb gewisser Bereiche des Spektrums Eigenzustände existieren, welche nur in bestimmten Gebieten nichtverschwindende Teilchenzahlen aufweisen, also auf bestimmte Bereiche des Gitters beschränkt sind. Durch Superposition eines weiteren Potentials mit der doppelten Periodizität lassen sich die mit Teilchen besetzten Gebiete weiter aufspalten. Durch die Amplitude dieser Störung lassen sich Breite und Anzahl der Regionen innerhalb eines gegebenen Energiebereichs kontrollieren. Betrachtet man den Grundzustand der Fermionen im Gitter, so kann es zur Bildung von isolierenden Gebieten durch lokale Energielücken kommen. Diese lassen sich durch Betrachtung der lokalen Zustandsdichte identifizieren.

Im Kapitel 3 geben wir einen relativ detaillierten überblick über zwei Quanten-Monte-Carlo-Techniken (QMC), worldline QMC und zero temperature projector QMC, die in unseren Simulationen von soft-core Bosonen und zweikomponentigen Fermionen Anwendung fanden. Ebenso diskuttieren wir die elementaren Grundlagen der klassischen Monte Carlo Methode und zeigen im Anhang den Beweis des Zentralen Grenzwertsatzes, der theoretischen Basis von Monte Carlo.

Eigenschaften von soft-core Bosonen in optischen Gittern sind Thema des Kapitels 4. QMC-Rechnungen zeigen, dass das in periodischen Systemen verwendete Konzept der kommensurablen Füllung durch ein einschließendes Potential seine Bedeutung verliert. Mott-Gebiete entstehen für einen kontinuierlichen Bereich von Füllfaktoren und treten, wie oben bereits erwähnt, stets zusammen mit suprafluiden Phasen auf. Letzteres spiegelt sich in der Kompressibilität des Gesamtsystems wieder, welche nie verschwindet. Um die lokalen Mott-isolierenden Phasen zu charakterisieren, definieren wir eine zur Varianz der lokalen Dichte proportionale lokale Kompressibiltät. Schließlich diskutieren wir das Phasendiagramm für soft-core Bosonen in einer Falle.

Im Kapitel 5 untersuchen wir die Eigenschaften des Grundzustands von zweikomponentigen Fermionen in optischen Gittern. Wie im bosonischen Fall gibt es Mott-isolierende Gebiete für kontinuierliche Bereiche von Füllfaktoren, die wiederum nur zusammen mit kompressiblen Phasen existieren. Wir führen einen lokalen Ordnungsparameter ein, die lokale Kompressibilität, welcher die Mott-isolierenden Phasen eindeutig charakterisiert. Damit untersuchen wir im Detail den übergang zwischen metallischen und isolierenden Gebieten und finden einen neuen kritischen Exponenten für das Verhalten. Darüberhinaus zeigt sich, dass das Verhalten der lokalen Kompressibilität und der Varianz der Dichte, wie für ein kritisches Phänomen zu erwarten, universell sind, also unabhängig vom einschließenden Potential und der Stärke der Wechselwirkung.

Das Kapitel 6 behandelt eine kürzlich entwickelte exakte Methode zur Untersuchung von Grundzustandseigenschaften von HCB in eindimensionalen Gittern. Wir untersuchen das nichtdiagonale Gleichgewichtsverhalten der Einteilchendichtematrix (OPDM) und damit zusammenhängender Größen. Wir finden einen algebraischen Abfall von OPDM wie x^-1/2 für große x. Obiges Potenzgesetz bestimmt das asymptotische Verhalten der Teilchenzahl im niedrigsten natürlichen Orbital für den thermodynamischen Grenzfall. Zusätzlich diskutieren wir Korrekturen für endliche Teilchenzahlen bei beliebigen Exponenten des einschließenden Potentials. Darüber hinaus zeigt sich, dass es bei geringen Dichten zu einem algebraischen Abfall der NO Besetzungszahl kommt, ebenfalls mit einem universellen Exponenten.

Der obige Ansatz wird in Kapitel 7 auf HCB-Nichtgleichgewichtssysteme in eindimensionalen Gittern verallgemeinert. Das Gitter führt zu verstärkten Korrelationen und ermöglicht so die Entstehung reiner inkohärenter Fockzustände. Bei der freien Zeitentwicklung solcher Zustände beobachten wir die Bildung von quasi-langreichweitigen Korrelationen in der equal-time Einteilchendichtematrix. Die Korrelationen führen zur Bildung von Quasikondensaten bei endlichem Impuls, wobei die Besetzungszahl einem universellen zeitlichen Potenzgesetz folgt. Schließlich diskutieren wir, wie die diskutierten Ergebnisse zur Realisierung von Atomlasern mit durchstimmbarer Wellenlänge verwendet werden können.