A rate-independent model for phase transformations in shape-memory alloys

Abstract

In this thesis we consider a special class of mechanical systems that is rate-independent systems. Such systems are typically driven by an external loading on a time scale much slower than any internal time scale (like viscous relaxation times) but still much faster than the time needed to find the thermodynamical equilibrium. Typical phenomena involve dry friction, elasto-plasticity, certain hysteresis models for shape-memory alloys and quasistatic delamination or fracture. The main feature is the rate-independence of the system response, which means that a loading with twice (or half) the speed will lead to a response with exactly twice (or half) the speed. The goal of this paper is to prove the existence of time evolution for such systems. In last part we use exemplary the developed existence theory to show the existence of time evolution for a simple model of phase transformations in solids. In first chapter we treat general rate-independent systems. In the literature the reader can find approaches to this kind of systems involving either differential inclusions or abstract hysteresis operators. Unfortunately the both methods require additional structures (Banach space structure, convexity, spaces of scalar-valued functions), which are often not given in mechanical models of rate-independent systems. In this paper we utilise a different approach. The main idea is to rewrite a problem in a derivative-free, energetic form. The reformulation leads to two conditions, which have a natural physical meaning. The first one requires the stability of the system at all time. It means that a jump from the actual process state to an another state is energetically disadvantageous. The second condition requires an energy balance in the system. Hence this formulation does not involve space derivatives, it is much more adequate for many mechanical systems. Moreover, the energetic formulation allows for the usage of direct methods of the calculus of variations in order to obtain existence results for the new formulation. In second chapter a short overview of the theory of functions of bounded variation is provided. The results in this chapter are more or less well known, but only for a small round of specialists. Moreover, most of them are widely scattered in the literature. For some results the author was unable to find the proofs anyway. In last chapter we use the results of the second chapter for introducing of a simple model for phase transition. The modelling of phase transition processes plays an important role in the material science. Especially in the context of shape-memory alloys such modelling has been subjected to intensive theoretical and experimental research recently. It is surely related to the importance of smart materials in the aerospace and civil engineering. There exist yet some applications to human medicine. Such smart materials are characterised by an existence of different possible atomic grids (phases) and by a strong dependence of elastic properties on the actual structure of an atomic grid. The grid with a higher symmetry mostly cubic) is referred as austenite phase while the lower-symmetrical grids (smart materials may have more than one lower-symmetrical grid) are called martensite phases. Under an external mechanical loading a smart material passes through an elastic deformation, but by attainment of a certain activation stress the phase transformation occurs. At this moment the energy, which is needed for the phase transformation, is partially dissipated to heat and partially stored in the new phase interface. Practical experiments show that the phase transformation processes can be considered, except very fast time scales, as rate-independent. This fact leads to the opportunity to treat the time evolution of phase transformation as a rate-independent process and to apply the abstract existence theory. In the model for phase transformation, which is presented in this thesis, we assume that the phase state at every material point is given by one pure crystallographic phase. It means that this model can be considered as a microscopic one. We assume also that one part of the stored energy is saved in the phase interfaces. This assumption is realised through an interface energy term of the total stored energy. This term is introduced as an integral over the phase interface of some suitable interface density function. Surely, the interface energy term forbids the experimentally observed formation of microstructure, but at the same time this additional term allows us to model nucleation effects, which were also observed in experiments. The last effect makes it reasonable to consider such interface energy term. Anyway, the introduced model seems to be interesting since it realises some experimental effects and allows to apply rigorous results in order to prove the existence of time evolution.

In dieser Arbeit wird eine spezielle Klasse der mechanischen Systeme betrachtet, nämlich die ratenunabhängigen Systeme. Solche Systeme werden von externen Kräften angetrieben, die eine viel langsamere Zeitskala haben als die interne System-Zeitskala. Man spricht also von quasi-statischen Systemen. Als typische Beispiele können an dieser Stelle die Trockenreibung, Bruchbildung und -ausbreitung genannt werden. Das Ziel dieser Dissertation ist die Entwicklung eines mathematischen Apparates, der die mathematisch exakte Existenzaussagen für ein breites Spektrum ratenunabhängiger Prozesse erlaubt. Im letzten Kapitel wird die entwickelte Theorie exemplarisch auf ein einfaches Modell für Phasen-Transformationen in Festkörpern angewendet, um die Existenz des Evolutionsprozesses nachzuweisen. Im ersten Teil dieser Arbeit werden ganz allgemein mechanische Systeme untersucht, die so genannte Ratenunabhängigkeit aufweisen. Diese Eigenschaft besagt, dass die Reskalierung der Zeit zu den reskalierten Lösungen führt. In der Literatur wurden bereits die Theorie der Differential-Inklusionen und die Theorie der Hysterese-Operatoren erfolgreich angewendet um solche Probleme zu erforschen. Letztere Methode wurde extra für das Studium der Probleme mit Hysterese entwickelt, die absolut typisch für ratenunabhängige Systeme ist. Leider erfordern beide Methoden zusätzliche Eigenschaften (Banachstruktur, Konvexität, Skalarwertigkeit), die im Allgemeinen nicht gegeben sind. In dieser Arbeit folgen wir einem anderen Zugang. Die Idee besteht darin, das Problem in einer ableitungsfreien energetischen Formulierung zu schreiben. Dabei entstehen zwei Bedingungen, die eine natürliche physikalische Deutung haben. Die erste Bedingung besagt, dass zu jedem Zeitpunkt der Prozesszustand stabil ist, d.h. ein Sprung in einen anderen Zustand energetisch ungünstig ist. Die zweite Bedingung postuliert die Energieerhaltung. Die Vorteile dieser Formulierung lassen sich schnell erkennen. Einerseits erlaubt der Verzicht auf räumliche Ableitungen unsere Theorie auf eine breite Klasse mechanischer Systeme anzuwenden, ohne dabei Linearität des Zustandsraumes vorauszusetzen. Andererseits macht die rein energetische Struktur der formulierten Bedingungen die Anwendung der direkten Methoden der modernen Variationsrechung möglich, um die Existenz der Lösungen für unsere Formulierung zu zeigen. Im zweiten Kapitel geben wir eine kurze Einführung in die Theorie der Funktionen mit beschränkter Variation. Die in diesem Kapitel gesammelten Aussagen sind allesamt mehr oder minder bekannt. Allerdings sind diese nur einem engen Spezialistenkreis bekannt und in der Fachliteratur zu sehr verstreut. Die Beweise der einiger Sätze konnte der Autor in ihm bekannten Standardwerken über die BV-Theorie überhaupt nicht finden. Im letzten Kapitel wird schließlich ein einfaches Modell für Phasen-Transformationen in Festkörpern vorgestellt, das auf ein ratenunabhängiges System führt (aus Experimenten weiß man, dass die Phasentransformationen z.B. in Formgedächtnis-Legierungen fast ratenunabhängig sind), für welches sich schließlich mit Hilfe der im ersten Kapitel entwickelten Methoden die Existenz eines Evolutionprozesses zeigen lässt. Dazu betrachten wir einen Körper aus einem Material mit einer endlichen Anzahl möglicher Phasenzustände. Wir nehmen an, dass der Körper in jedem Punkt in genau einem Phasenzustand ist. Die positive Energie, die für einen Phasenübergang aus einem Phasenzustand in einen anderen Phasenzustand benötigt wird, wird als Funktion dieser zwei Phasenzustände angenommen. Die im System gespeicherte Energie wird als Summe der elastischen Energie, der potenziellen Energie plus der sogenannten Grenzflächenenergie dargestellt. Die Grenzflächenenergie berücksichtigt dabei die Größen der Grenzflächen zwischen verschiedenen Phasen sowie deren Ausrichtungen. Das so konstruierte Modell gehört zur der Klasse der mikroskopischen Modelle, da es angenommen wird, dass in jedem Körperpunkt ein reiner Phasenzustand herrscht. Die Grenzflächenenergie unterbindet zwar die experimentell beobachtete Ausbildung der Mikrostrukturen im Material, liefert aber eine Regularisierung der gespeicherten Energie, welche die für unsere Theorie essentielle Existenz der Minimierer garantiert. Die Zunahme solcher Terme wird aber auch durch die Physik gefordert, denn in Experimenten wurde der Effekt der Keimbildung bei Formgedächtnis-Legierungen beobachtet. Dieser Effekt kann aber nur dadurch erklärt werden, dass die Ausbildung der neuen Phasengrenzen doch eine zusätzliche Energie benötigt. Insgesamt erscheint das vorgestellte Modell recht interessant zu sein, da es einerseits sehr einfach und im Rahmen der entwickelten Theorie mathematisch behandelbar ist, andererseits aber auch einige der beobachteten Effekte erklärt.