On the microscopic limit for the existence of local temperature

Abstract

Recent progress in the synthesis and processing of nano-structured materials and systems calls for an improved understanding of thermal properties on small length scales. In this context, the question whether thermodynamics and, in particular, the concept of temperature can apply on the nanoscale is of central interest. Here we consider a quantum system consisting of a regular chain of elementary subsystems with nearest neighbour interactions and assume that the total system is in a canonical state with temperature T. We analyse, under what condition the state factors into a product of canonical density matrices with respect to groups of n subsystems each, and when these groups have the same temperature T. In quantum systems the minimal group size depends on the temperature, contrary to the classical case. As examples, we apply our analysis to a harmonic chain and different types of Ising spin chains. For the harmonic chain, which successfully describes thermal properties of insulating solids, our approach gives a first quantitative estimate of the minimal length scale on which temperature can exist: This length scale is found to be constant for temperatures above the Debye temperature and proportional to 1/T^3 below. We finally apply the harmonic chain model to various materials of relevance for technical applications and discuss the results. These show that, indeed, high temperatures can exist quite locally, while low temperatures exist on larger scales only. The technique of the approach is based on a quantum central limit theorem, which should prove usefull in different settings, too.

Aktuelle Fortschritte in der Herstellung und Handhabung von Materialien mit Struktur auf der Nanometer-Skala erfordern ein besseres Verstaendnis thermischer Eigenschaften auf diesen kleinen Skalen. Wir betrachten eine homogene Kette quantenmechanischer elementarer Subsysteme, von der wir annehmen, sie sei in einem kanonischen Zustand mit Temperatur T. Wir analysieren unter welchen Bedingungen der Zustand in kanonische Dichtematrizen für Gruppen von n nebeneinender liegenden subsystemen faktorisiert und wann diese die selbe Temperatur T haben. In Quantensystemen hängt, im Gegensatz zu klassischen Systemen, die minimale Gruppengröße von der Temperatur ab. Als Beispiele betrachten wir eine harmonische Kette und verschiedene Ising-Spinketten. Für die harmonische Kette, welche die thermischen Eigenschaften isolierender Festkörper erfolgreich beschreibt, ergibt unser Zugang eine erste quantitative Abschätzung der Längenskala auf der Temperatur existiert: Diese Skala ist oberhalb der Debye-Temperatur konstant und unterhalb proportional zu 1/T^3. Abschliessend wenden wir das harmonische Modell auf mehrere Materialien von technischer Relevanz an. Dies zeigt, dass hohe Temperaturen sehr lokal, tiefere aber nur auf größeren Skalen existieren können. Die Technik des Zugangs basiert auf einem zentralen Grenzwertsatz für Quantensysteme, der auch in anderen Problemen sehr nützlich sein sollte.