Spatio-temporal non-linear dynamics of lasing in micro-cavities : full vectorial Maxwell-Bloch FDTD simulations

Abstract

This work explores the ultra fast and non-linear effects in dielectric micro-cavities and micro-cavity lasers on the basis of full vectorial Maxwell-Bloch finite difference in time domain simulations. Micro-cavity lasers promise low lasing pump thresholds and ultra fast amplitude modulations. Micro-cavities with low pump thresholds may function as single photon sources which are required for quantum optic data processing. For the first time the full three dimensional complete polarisation dynamics during the initial transient of a lasing process in a micro-cavity are calculated and discussed. So called microdisks and microgears were chosen as the cavity geometries.

In order to simulate the non-linear, ultra short effects in micro cavities, a three dimensional finite element in time domain (FDTD) code was set up, adapted to different types of computer architectures and verified. The FDTD algorithm describes the temporal evolution of the electromagnetic fields on a Yee type numerical grid by using the Faraday and the generalised Ampere law to calculate the fields at a new time step from the former time step in a leap frog like, second order accurate scheme. The Maxwell material equations introduce the polarisation into the FDTD algorithm. It is described for the first time in a semi-classical, self consistent three dimensional formalism by the discretised optical Bloch equations as separate difference equations.

Resonators with distributed feedback (DFB resonators), including one or two dimensional corrugations, pose the first type of micro-resonator for which the numerical method is applied. This type of resonator is used in so called "plastic lasers" which are entirely made from organics in order to form extremely flexible and shapeable, large area light sources. The simulations in this work lead to qualitative results which give insight in the type of DFB mechanism, and they give quantitative results for DFB structures which are used in experiments. The last two chapters of this work deal with disk type lasers with length scales in the range of a few wavelengths. Starting with smooth shaped dielectric cylinders, cold cavity modes are computed and measured. The results are then compared to experiments and different theoretical computations from literature. Subsequently, the influence of a periodic modulation of the cylinder radius - which characterises the microgear laser - with variable depth on the properties of cold cavity modes in smooth shaped disks is studied. Quantitative investigations are performed on selected modes. These dielectric disks with a periodic modulation of the radius are called microgears.

The simulations of the initial transient relaxation oscillation of the active material in microdisk lasers visualise the quasi stationary spatial hole burning process. But this initially static behaviour is immediately replaced by a rotational movement of the electromagnetic mode. We ascribe this effect to the continuous azimuthal degeneracy of the eigenmodes of the cold cavity and the non-linearity of the combined optical Maxwell-Bloch equations. The continuous azimuthal degeneracy is removed by the transition to the microgear geometry. The simulations of lasing in this kind of resonator shows a spatially static hole burning of the inversion from the first relaxation oscillations to the steady state lasing process. It is thereby demonstrated that the mode decomposition of a cold dielectric cavity is an indication of the properties which are to be expected of a lasing resonator, but proves to be insufficient to predict non-linear effects in micro and macro lasers.

Der Fokus dieser Arbeit ruht auf extrem schnellen und nichtlinearen Effekten in dielektrischen Mikrokavitäten für kohärente Strahlungsquellen. Dieser Kavitätstyp verspricht niedrige Pumpschwellen für den Laserbetrieb und ultraschnelle Modulierbarkeit. Mikrokavitäten mit niedrigen Pumpschwellen stellen mögliche Einzelphotonenquellen dar, die in quantenoptischer Datenverarbeitung ihre Anwednungen finden sollen. Diese Arbeit stellt zum ersten Mal die komplette dreidimensionale Beschreibung der vollständigen Polarisationsdynamik während des Einschwingvorgangs eines Laserprozesses in einer Mikrokavität vor. Als Kavitätsgeometrien wurden sogenannte dielektrische "Microdisks" und "Microgears" ausgewählt.

Zur Simulation der nichtlinearen, ultrakurzen Effekte in Mikrokavitäten wurde im Rahmen dieser Doktorarbeit ein auf dem Finite Elemente im Zeitraum (FDTD) basierendes Programm für dreidimensionale räumliche Geometrien entwickelt, an verschiedene Rechnerarchitekturen angepasst und getestet. Der FDTD Algorithmus beschreibt die zeitliche Entwicklung des elektromagnetischen Feldes auf einem numerischen Gitter vom Yee Typ indem er mit Hilfe der Faradayschen und der generalisierten Ampereschen Gleichung die Felder des nächsten aus den Feldern des vorhergehenden Zeitpunktes berechnet. Dieser Algorithmus ist vom "Leap-frog" Typ und seine Genauigkeit ist von zweiter Ordnung. Durch die Materialgleichung wird die mikroskopische Polarisation, beschrieben in einem semiklassischen Formalismus durch die optischen Bloch-Gleichungen, als zusätzliche reele Differenzengleichung in den FDTD Algorithmus eingebettet.

Resonatoren mit verteilter Rückführung (DFB Resonatoren), mit eindimensionaler oder zweidimensionaler Korrugation, stellen die erste Art von Mikroresonator dar auf die die numerische Methode angewandt wird. Dieser Resonatortyp findet Anwendung in sogenannten Plastiklasern die vollständig aus organischen Materialien bestehen um extrem flexible und formbare, grossflächige Lichtquellen zu bilden. Die numerischen Rechnungen in dieser Arbeit resultieren in qualitativen Ergebnissen die Aufschluss über die Art des DFB Mechanismus geben, und quantitativen Resultaten zu DFB Strukturen wie sie in Experimenten verwendet wurden. Die letzten zwei Kapitel der Arbeit befassen sich mit Scheibenlasern, die Abmessungen im Bereich der Lichtwellenlänge besitzen. Ausgehend von glatten dielektrischen Zylindern werden die kalten Kavitätsmoden vermessen und den Ergebnissen anderer Arbeiten gegenübergestellt. Die Auswirkungen von periodischen Modulationen des Zylinderradius mit unterschiedlicher Stärke auf die Eigenschaften von kalten Resonatormoden werden umrissen und quantitativ an einzelnen Moden untersucht. Diese dielektrischen Scheiben mit periodischer Modulation des Radius werden Mikrozahnräder genannt. Die Simulationen des transienten Verhaltens während der Relaxationsoszillationen des aktiven Materials in Scheibenlasern zeigen stationäres räumliches Lochbrennen. Dieses stationäre Verhalten wird allerdings sehr schnell durch eine Rotationsbewegung des elektromagnetischen Feldes abgelöst. Wir führen dies auf die kontinuierliche azimuthale Entartung der Eigenmoden der kalten Kavität und dem nichtlinearen Typ der kombinierten optischen Maxwell-Bloch Gleichungen zurück. Durch den Übergang zur Zahnradgeometrie wird die kontinuierliche azimuthale Entartung der Moden aufgehoben. Wie zu erwarten zeigen die Simulationen ein stationäres räumliches Lochbrennen, demnach in diesem Resonatortyp, auch noch während des eingeschwungenen statischen Verhaltens des Laserprozesses. Es zeigt sich, dass die Modenbeschreibung einer kalten dielektrischen Kavität zwar einen Eindruck der zu erwartenden Eigenschaften des um eine nichtlineare Materialgleichung erweiterten Resonators gestattet aber nicht ausreichend ist nicht lineare Effekte vorherzusagen.