Nonequilibrium dynamics of strongly correlated quantum systems

Abstract

In this thesis, strongly correlated quantum many-body systems in equilibrium and in out-of-equilibrium situations are investigated. This is done by applying and developing well established numerical methods. The focus of the thesis lies in the development and application of the density matrix renormalization group method (DMRG) to quantum many-body systems out of equilbrium. In this thesis, in addition to the DMRG, methods for the exact diagonalization of the Hamiltonian of the system, like the Lanczos- or the Jacobi-Davidson method, are treated. An extension of the Lanczos method makes it possible to treat the time evolution of strongly correlated quantum systems with an accuracy comparable to machine precision. This method is the basis for a possible extension of the DMRG for the treatment of systems out of equilibrium, the so-called adaptive time-dependent DMRG ("adaptive t-DMRG"). A second variant of the adaptive t-DMRG uses the Suzuki-Trotter decomposition of the time-evolution operator. An error analysis demonstrates that both methods, for a suitable choice of control parameters, have errors < 1% at the end of the time evolution in complicated quantities like, e.g., the momentum distribution function. We apply these numerical methods to investigate the quantum critical behavior of a variant of the Hubbard model and to treat two non-equilibrium situations of current interest. Extensive use of the DMRG makes it possible to clarify the quantum-critical behavior of the ionic Hubbard model; in particular, the numerical results demonstrate quite clearly that the correct scenario has two critical points; at the first critical point, only the charge degrees of freedom are critical, while at the second one only the spin degrees of freedom are critical. Quite surprisingly, the Mott-insulator phase in the strong-coupling regime shows a divergent electrical susceptibility. Next, the dynamics of a system of so-called soft-core bosons is treated. The particles initially are trapped in a deep box-potential and the dynamics is investigated after releasing them from this trapping potential. Similar to exact results obtained for so-called hard-core bosons, (quasi-)coherent matter waves emerge, demonstrating the possibility of realizing an atom laser in experiments on optical lattices. We find that the wave vector of the emerging matter wave can be tuned by changing the strength of the interaction between the particles. The second non-equilibrium situation is a so-called "quantum-quench" of a system of strongly correlated fermions, i.e., the evolution of the system after suddenly changing an intrinsic parameter like, e.g., the interaction strength between the particles, is investigated. In this case, we are mainly interested in the long-time behavior; in particular, the question arises whether, relying on Boltzmann's ergodic hypothesis, relaxation to a thermal state is obtained. We find that, in general, non-thermal final states are reached, which can be described by generalized Gibbs-Boltzmann ensembles.

In dieser Arbeit werden stark korrelierte Quantenvielteilchensysteme in Gleichgewichts- und Nichtgleichgewichtssituationen untersucht. Dazu werden etablierte numerische Methoden angewandt und weiterentwickelt. Der Schwerpunkt der Arbeit liegt dabei in der Weiterentwicklung und Anwendung der Dichtematrixrenormierungsgruppe (DMRG) zur Behandlung quantenmechanischer Vielteilchensysteme ausserhalb des Gleichgewichts. Ausser der DMRG werden in dieser Arbeit auch exakte Diagonalisierungsverfahren, wie die Lanczos- oder die Jacobi-Davidson-Methode, behandelt. Eine Erweiterung des Lanczos-Verfahrens ermöglicht es, die Zeitentwicklung stark korrelierter Quantensysteme mit einer Genauigkeit vergleichbar zur Maschinengenauigkeit zu berechnen. Diese Methode ist die Grundlage für eine mögliche Erweiterung der DMRG zur Behandlung von Nichtgleichgewichtsproblemen, der sogenannten adaptiven zeitabhängigen DMRG ("adaptive t-DMRG"). Eine zweite Variante der adaptiven t-DMRG baut auf der Suzuki-Trotter-Zerlegung des Zeitentwicklungsoperators auf. Eine Fehleranalyse zeigt, dass beide Varianten, bei geeigneter Wahl der Kontrollparameter, am Ende der Zeitentwicklung einen Fehler von <1% für schwierig zu berechnende Observable, wie z.B. die Impulsverteilungsfunktion, besitzen. Diese numerischen Methoden werden in dieser Arbeit eingesetzt, um das quantenkritische Verhalten einer Variante des Hubbardmodells zu bestimmen und um zwei Nichtgleichgewichtssituationen von aktuellem Interesse zu behandeln. Durch intensiven Einsatz der DMRG gelingt es, das Quantenphasendiagramm des ionischen Hubbardmodels zu klären; insbesondere zeigen die numerischen Ergebnisse sehr deutlich ein Szenario mit zwei kritischen Punkten auf, wobei am ersten kritischen Punkt nur Ladungsfreiheitsgrade kritisch sind, am zweiten hingegen nur Spinfreiheitsgrade. Überraschenderweise findet man in der Mottisolatorphase des Systems im Stark-Kopplungs-Bereich eine divergierende elektrische Suszeptibilität. Als nächstes wird die Dynamik eines Systems aus sogenannten soft-core Bosonen, die anfangs in einem sehr tiefen Kastenpotential festgehalten werden, nach dem Ausschalten des Potentials untersucht. Vergleichbar zu sogenannten hard-core Bosonen, die exakt behandelt werden können, entstehen (quasi-)kohärente Materiewellen, die die Möglichkeit zur Realisierung eines Atomlasers auf optischen Gittern aufzeigen. Wir finden, dass der Wellenvektor der entstehenden kohärenten Materiewelle durch Variation der Stärke der Wechselwirkung zwischen den Teilchen eingestellt werden kann. Die zweite von uns untersuchte Nichtgleichgewichtssituation ist ein System stark korrelierter Fermionen nach einem sogenannten "Quanten-Quench", d.h., nach einer plötzlichen Änderung eines intrinsischen Parameters, wie z.B. der Stärke der Wechselwirkung zwischen den Teilchen. Bei diesem System interessieren wir uns vor allem für das Verhalten nach langen Zeiten; insbesondere stellt sich die Frage, ob, Boltzmanns Ergodenhypothese folgend, ein thermischer Zustand erhalten wird. Wir zeigen, dass der sich einstellende quasistationäre Zustand in der Regel nicht-thermisch ist und durch verallgemeinerte Gibbs-Boltzmann-Ensembles beschrieben werden kann.