Die relativistische Schrödingertheorie als erweiterte Yang-Mills-Theorie

Abstract

Die vollständige unitäre Liegruppe wird zusammen mit der Anordnung der Freiheitsgrade einer quantenmechanischen Beschreibung eines Vielteilchensystem in einer Whitneysummenstruktur zur Beschreibung der Austauschsymmetrie eines Systems identischer Teilchen verwendet. Dadurch wird die Beschreibung der Austauschsymmetrie durch die Permutationsgruppe, die durch ihre Globalität und Diskretheit in Kontrast zum sonst in der Physik herrschenden Prinzip der Lokalität steht, durch eine Beschreibung ersetzt, die auf eine lokale und kontinuierliche Liegruppe zurückgreift. Als erstes wird der Ursprung und die Auswirkungen der Verwendung der Whitneysumme zur Anordnung der Freiheitsgrade einer Vielteilchentheorie anstatt ihres sonst üblichen Tensorproduktes besprochen. Danach wird eine passende Lagrangedichte für die Arbeit mit einer Whitneysumme in Zusammenhang mit der maximal möglichen unitären Liesymmetrie eines Vielteilchensystemes angegeben, die der Ausgangspunkt für alle weiteren Ergebnisse ist. Da die unitäre Gruppe in N Dimensionen (wobei N die Anzahl der unabhängigen Freiheitsgrade der Theorie unter Bezug auf die Poincaregruppe des Systems ist) zu viele Transformationen zulässt, als daß die Freiheitsgrade sich voneinander abgrenzen könnten, müssen einige dieser Transformationen eingeschränkt (jedoch nicht ausgeschlossen!) werden. Der unbeschränkte Anteil wird zur Modellierung der Wechselwirkungen des Systems herangezogen. Dieser Vorgang der Symmetrieaufteilung wird zunächst allgemein besprochen, um dann auf ein Beispielsystem dreier Diracfreiheitsgrade (-> Elektronen) spezialisiert zu werden. An diesem Beispiel wird gezeigt, wie sich den Freiheitsgraden der Theorie einzelne Ladungen zuordnen lassen, wodurch sie zu Teilchen werden. Mit anderen Worten wird ein Teilchenbild auf der Grundlage der mathematischen Struktur der Whitneysumme vorgestellt. Dieses ist so eng mit der notwendigen Beschränkung einiger Transformationen der U(N) verwandt, daß beide nur verschiedene Seiten derselben Medaille sind: Die Aufrechterhaltung des Teilchenbildes unter allen Transformationen der U(N) erfordert genau die Beschränkung einiger Transformationen, die diese zur Beschreibung einer Austauschsymmetrie werden lässt, während umgekehrt ein Teilchenbild ohne diese Beschränkungen gar nicht erst aufgestellt werden könnte.

The full unitary Lie group together with the idea of arranging the degrees of freedom of a quantum theory of many particles in a Whitney sum structure is used to describe exchange symmetry of a system of identical particles. Thereby the description of exchange symmetry by the group of permutations, whose globality and discreteness is in strange opposition to physics general principle of locality, is replaced by a description that relies on a local and continuous Lie symmetry. First, the origin and the implications of the idea of using a Whitney sum structure of a theory's degrees of freedom instead of their tensor product as it is done in standard quantum mechanics is discussed. After that, a suitable Lagrange density for dealing with the Whitney sum structure in connection with the maximal unitary Lie symmetry of a system of many particles is given, being the point of departure for all following results. Since the full unitary group in N dimensions (with N the number of independent degrees of freedom with respect to the Poincare group of the system) allows far too many symmetry transformations for the degrees of freedom to be distinct against each other, some of their elements have to be restricted (but not excluded!). Its unrestricted part models the interactions. This pattern of symmetry splitting is described generally and afterwards exemplified by considering the sample case of a system of three independent Dirac degrees of freedom (-> electrons). In this example a scheme is presented to attribute the theory's degrees of freedom with charges, that make them to particles; i.e. a particle picture relying on the mathematical structure of a Whitney sum is given. It is so closely related to the necessary restrictions of some of the structure group's elements that they are just two sides of the same medal: maintaining the particle picture under all transformations of U(N) results exactly in the restrictions that make the parts not modelling interactions into exchange symmetry. On the other hand, without these restrictions, no particle picture can emerge.