Die Invariantendarstellung in der Satellitengradiometrie : theoretische Betrachtungen und numerische Realisierung anhand der Fallstudie GOCE

Abstract

Die Satellitengradiometrie (Satellite Gravity Gradiometry, SGG) ist die derzeit modernste Technik zur Bestimmung und Modellierung hochauflösender Gravitationsfelder. Sie gründet auf der Beobachtung zweiter Ableitungen des Gravitationspotenzials, welche als Gravitationsgradienten (GG) bezeichnet werden und deren Gesamtheit im Gravitationstensor (oder Eötvös-Tensor) zusammen gefasst ist. Letzterer zeichnet sich durch Symmetrie und Spurfreiheit aus. Technisch realisiert wird die Gradiometrie über skalierte Beschleunigungsdifferenzen zwischen frei fallenden Testmassen. Mittels der Kombination aus sechs dreidimensionalen Beschleunigungsmessern lässt sich der volle Gravitationstensor im dreidimensionalen Raum aufstellen.

Herkömmlicherweise erfolgt die Gravitationsfeldbestimmung aus SGG Beobachtungen durch die Analyse einzelner GG. Dabei wird für jeden beobachteten GG der (lineare) funktionale Zusammenhang zu den unbekannten Gravitationsfeldparametern hergestellt. Es ergibt sich folglich für jeden GG eine individuelle Beobachtungsgleichung. Dieser Ansatz wird hier als die klassische Vorgehensweise betrachtet. Sie kommt ohne die Orientierung des Gravitationstensors relativ zum Referenzsystem der Gravitationsfeldmodellierung nicht aus, da die einzelnen GG abhängig von der Lage des Gradiometersystems im Raum sind.

Alternativ dazu befasst sich der erste Teil dieser Arbeit mit der theoretischen Gravitationsfeldanalyse basierend auf den Rotationsinvarianten des Gravitationstensors. Diese Größen verhalten sich invariant gegenüber orthogonalen Transformationen und lassen sich damit unabhängig von der Orientierung des Gravitationstensors formulieren. Andererseits ist die Invariantendarstellung mit einer Reihe von Erschwernissen verbunden. Die nicht-linearen Funktionale des Gravitationspotenzials verlangen eine entsprechende Linearisierung. Daran gekoppelt ist ein iterativer Lösungsprozess. Dabei ist eine effiziente Linearisierungsstrategie maßgeblich von drei Faktoren abhängig: einem möglichst kleinen Linearisierungsfehler, schnellem Konvergenzverhalten und einem geringen numerischen Aufwand. Es stellt sich heraus, dass die Linearisierung in Form einer Störungsrechnung alle drei Kriterien erfüllt. Darüber hinaus gründet die Invariantendarstellung auf der Volltensorgradiometrie. Dies impliziert, dass sämtliche GG mit möglichst gleicher Genauigkeit verfügbar sein müssen. Eine derartige Annahme kann jedoch nicht grundsätzlich vorausgesetzt werden. Um die Volltensorgradiometrie allgemeingültiger zu gewährleisten, wird deshalb die synthetische Berechnung unbeobachteter GG untersucht.

Aktuelles Interesse erfährt die Satellitengradiometrie derzeit vorrangig durch den geplanten Start der Mission GOCE (Gravity field and steady-state Ocean Circulation Explorer) im Frühjahr 2008. Die numerischen Beispiele der Invariantendarstellung basieren auf einer Simulationsrechnung dieses Szenarios. Die Güte der erhaltenen Lösungen wird gegenüber den Ergebnissen unter Anwendung des klassischen Analyseverfahrens von SGG Beobachtungen abgegrenzt. So widmet sich der zweite Teil dieser Arbeit der rechentechnischen Umsetzung der Gravitationsfeldanalyse. Die auftretenden Gleichungssysteme werden nach der Methode der kleinsten Quadrate gelöst. Neben der direkten Lösungsmethode durch Inversion des Normalgleichungssystems nimmt hier das iterative LSQR (Least-Squares unter Verwendung einer QR Zerlegung) Verfahren eine zentrale Rolle ein. Es stellt nur geringe speichertechnische Anforderungen. Des weiteren ist es hinsichtlich der parallelen Implementierung auf Multiprozessor-Plattformen weitaus systemunabhängiger und effizienter als die direkte Lösungsmethode. Das LSQR Verfahren wird für dessen wirtschaftlichen Einsatz in der Gravitationsfeldbestimmung angepasst bzw. erweitert. Zentrale Aspekte sind in diesem Zusammenhang die Regularisierung und Präkonditionierung. Während die Regularisierung Einfluss auf die Güte der Lösung nimmt, zielt die Präkonditionierung auf das beschleunigte Konvergenzverhalten des iterativen Prozesses ab. Weiterhin werden die entsprechenden Konzepte und Ergebnisse der parallelen Implementierung aufgezeigt. Die Umsetzung der Algorithmen erfolgt auf Hochleistungsrechnern des Höchstleistungsrechenzentrums Stuttgart (HLRS) und des Center for Computing and Networking Services in Amsterdam (SARA).

Tatsächlich blieben umfassende Simulationsrechnungen der Invariantendarstellung mit Hinblick auf die Satellitengradiometrie bisher aus. Diese Lücke wird mit der vorliegenden Arbeit geschlossen. Die Kombination aus physikalisch-mathematischer Modellbildung und effizienter numerischer Umsetzung demonstriert letztlich die erfolgreiche Handhabung der Invariantendarstellung in der Satellitengradiometrie.

At present, satellite gravity gradiometry (SGG) is the state-of-the-art technology for high-resolution gravity field recovery on global scale. The observation principle is based on so-called gravitational gradients (GG), i.e., second-order derivatives of the gravitational potential. The individual GG are assembled in the gravitational tensor (or Eötvös tensor), which is both symmetric and trace-free. From the technical point of view, GG are provided by scaled acceleration differences of free-falling test masses. In this context, the combination of six three-dimensional accelerometers allows to observe the full gravitational tensor in three-dimensional space.

Commonly, GG analysis relates the single GG to geopotential modeling. More precisely, for each observed GG the (linear) functional relation to the unknown gravitational field parameters is established. This proceeding is referred here to as the classical approach. For its application, the orientation of the gravitational tensor relative to the reference frame of gravity field modeling is of prime importance, as the individual GG depend on the attitude of the gradiometer reference frame in space.

Alternatively to the classical approach, this thesis presents geopotential recovery using the gravitational tensor invariants representation. The pseudo-observations are invariant with respect to orthogonal transformations. Thus, they do not depend on the orientation of the gravitational tensor in space. The first part of the thesis focuses on theoretical considerations related to the invariants approach, in particular with regard to functional model formulation issues. This includes linearization of the non-linear observation equation combined with an iterative proceeding. An efficient linearization technique is characterized by three criteria: small linearization error, fast convergence, and low numerical costs. Linearization by means of a perturbation theory approach turns out to fulfill each of the criteria. Moreover, the invariants approach requires full tensor gradiometry in terms of comparable accuracy of all the single GG. However, the assumption of uniform uncertainty level is not basically granted. Hence, to ensure full tensor gradiometry, synthetic evaluation of unobserved GG is investigated.

The second part of the thesis addresses computation and implementation issues in the framework of satellite-based geopotential recovery. Presently, SGG arouses interest due to the forthcoming GOCE (Gravity field and steady-state Ocean Circulation Explorer) mission, planned to be launched in early 2008. Numerical examples base upon a simulated data set of the GOCE configuration. In terms of a closed-loop simulation, the quality of the results achieved using the invariants representation approach is validated with these ones provided by the classical analysis method.

From the computational point of view, both concepts result in linear (or linearized) overdetermined systems of equations. Solving the systems for the unknown gravity field parameters in a Least-Squares (LS) procedure is a challenging task. Basically, it can be tackled by direct inversion methods or iterative solvers. The direct (or brute-force) approach is based on the assembly of the whole normal equation system, followed by normal matrix inversion. Alternatively, the iterative LSQR (Least-Squares using QR decomposition) procedure is presented in detail. Opposite to the direct approach, memory requirements are well manageable for the iterative solver. Moreover, it performs better in parallel processing and it is independent of the computing architecture. The LSQR method is adapted, extended respectively, for its use in geopotential recovery, in particular with regard to tailored regularization and preconditioning. Whereas regularization affects the quality of the parameter estimate, preconditioning aims to improve the convergence behavior of the iterative process. The implementation of the algorithms is carried out on high performance computers supported by the Höchstleistungsrechenzentrum Stuttgart (HLRS) and the Center for Computing and Networking Services in Amsterdam (SARA).

So far there exist no numerical simulation studies of the (rotational) invariants approach in satellite gradiometry. The dissertation at hand closes that gap. The combination of both tailored mathematical modeling and efficient implementation results in successfully accomplishing the invariants representation in satellite gradiometry.