Surface deformation analysis of dense GPS networks based on intrinsic geometry : deterministic and stochastic aspects

Abstract

The first step in this study is to review the properties of surface which are inherent to the surface and can be described without referring to the embedding space. In other words, it is a method of differential geometry. The methods of moving frames which allows deformation of surface could be described by its own rights as a more reliable estimate of surface deformation measures. The method takes advantage of the simplicity of the 2D surface versus the 3D Euclidean spaces without losing or neglecting information about the third dimension in the results. Based on this method, deformation can be described by using tangent vectors and the unit normal basis vector (attached to the bodies before and after deformation). However, basis vectors of the deformed configuration will need to complete information of intrinsic properties of the deformed surface. Through this method, regularized Earth's surface is considered as a graded 2D surface, namely a curved surface, embedded in a Euclidean space . Thus, deformation of the surface can be completely specified by the change of the metric and curvature tensors, namely strain tensor and tensor of change of curvature (TCC). The curvature tensor, however, is responsible for the detection of vertical displacements on the surface. The next step of this study is to concentrate the local basis vectors of the deformed surface which can be formulated in terms of the local basis vectors of undeformed surface and curvilinear components of displacement vector. This will provide a representation of the intrinsic geometry of the deformed surface with deriving information about the displacement field. The new formulation of base vectors (for the deformed body) produces meaningful numerical results for the TCC and its associated invariants (mean and Gaussian curvatures). They can propose a shape-classification of the deformed surface based upon signs of mean and Gaussian curvatures which are new tools for studying the Earth's deformation. To enhance our understanding of the capabilities of the proposed method in defining new basis vectors (for deformed body), we present two examples, one with a simulated data set and the other with a real data set. However, through a real data set we demonstrated a comparison between the proposed method with the plane strain model (2D classical method). Dealing with eigenspace components e.g., principal components and principal directions of 2D symmetric random tensors of second order is of central importance in this study. In the third step of this research, we introduce an eigenspace analysis or a principal component analysis of strain tensor and TCC. However, due to the intricate relations between elements of tensors on one side and eigenspace components on other side, we will convert these relations to simple equations, by simultaneous diagonalization. This will provide simple synthesis equations of eigenspace components (e.g., applicable in stochastic aspects). The last part of this research is devoted to stochastic aspects of deformation analysis. In the presence of errors in measuring a random displacement field (under the normal distribution assumption of displacement field), stochastic behaviors of eigenspace components of strain tensor and TCC are discussed. It is performed by a propagation of errors from the displacement vector into elements of deformation tensors (strain and TCC). However, due to the intricacy of the relations between tensor components (strain or TCC) and their eigenspace components, we proceeded via simultaneous diagonalization. This part is followed by a linearization of the nonlinear multivariate Gauss - Markov model, which links the elements of transformed tensors (obtained by simultaneous diagonalization) with the eigenspace components. Then, we set up an observation model based on a linearized model under a sampling of eigenspace synthesis. Furthermore, we establish linearized observation equations for n samples of independent random vectors from transformed tensor elements (under the normal distribution assumption), each with an individual covariance matrix. This will provide us with the second-order statistics of the eigenspace components. Then we estimate the covariance components between transformed tensor elements by Helmert estimator, based on prior variance information. To enhance conceptual understanding of stochastic aspects of deformation analysis, the method is applied to a real data set of dense GPS network of Cascadia Subduction Zone(CSZ). Comparing the results showed that, in general, after estimating the covariance matrix of observations (transformed tensors via simultaneous diagonalization), variances of eigenspace components become smaller. However, in some areas this did not occur, which can be related to an incorrect description of initial accuracies, either too optimistic or too pessimistic.

Der erste Schritt dieser Studie besteht darin, einen Überblick über die inhärenten Eigenschaften einer Oberfläche zu geben, die ohne Betrachtung des umliegenden Raumes beschrieben werden können. In anderen Worten, es ist eine Methode der Differenzial-Geometrie. Die Methode der beweglichen Rahmen, welche die Deformation einer Oberfläche erlaubt, kann bedingt durch eigene Regeln als eine zuverlässigere Art der Schätzung von Deformationsmaßen einer Oberfläche angesehen werden. Die Methode nutzt die Vorteile der Einfachheit der 2D-Oberfläche gegenüber dem 3D-Euklidischen Raumes, ohne Information über die dritte Dimension in den Ergebnissen zu verlieren oder zu vernachlässigen. Auf dieser Methode basierend kann die Deformation mit Tangenten-Vektoren und Einheitsnormalenvektoren beschrieben werden, welche vor und nach der Deformation am Körper angebracht werden. Es werden allerdings für die Basis-Vektoren der deformierten Konfiguration die Erkenntnisse über die inneren Eigenschaften der deformierten Oberfläche benötigt. Unter Verwendung dieser Methode wird die regularisierte Erdoberfläche als zwei - dimensionale, glatte Oberfläche, genauer gesagt als gekrümmte Oberfläche, betrachtet, welche im Euklidischen Raum liegt. Daher kann die Oberflächendeformation komplett durch die Veränderung der Metriktensoren und der Krümmungstensoren, speziell des Verzerrungstensors und des Tensors der Krümmungsänderung, beschrieben werden. Der Krümmungstensor ist jedoch verantwortlich für die Ermittlung von vertikalen Verschiebungen auf der Oberfläche. Der nächste Schritt der Studie besteht darin, die lokalen Basisvektoren der deformierten Oberfläche auszurichten, welche unter Einbeziehung des lokalen Basisvektors der undeformierten Oberfläche und der krummlinigen Komponenten des Verschiebungsvektors formuliert werden können. Dies wird eine Vorstellung der inneren Geometrie der deformierten Oberfläche und zusätzliche Informationen über ihr Verschiebungsfeld geben. Die neue Formulierung der Basisvektoren (des deformierten Körpers) führt zu signifikanten numerischen Ergebnissen für den Tensor der Krümmungsänderung und seine Invarianten (mittlere und Gauss'sche Krümmungen). Eine Klassifizierung der Form der deformierten Oberfläche ist beruhend auf den Vorzeichen der mittleren und Gauss'schen Krümmungen möglich, was somit ein neues Instrument für die Untersuchung der Erd-Deformation darstellt. Für die Vertiefung unserer Kenntnisse über die Möglichkeiten dieser Methode, neue Basisvektoren für einen deformierten Körper zu finden, geben wir zwei Beispiele an, eines mit simulierten Daten und das andere mit echten Daten. Durch das Beispiel mit echten Daten können wir zusätzlich unsere Methode mit dem ebenen Verzerrungsmodel (klassische 2D-Methode) vergleichen. Die Behandlung von Eigenraum - Komponenten wie beispielsweise den Hauptkomponenten und - richtungen der symmetrischen 2D – Zufallstensoren zweiter Ordnung ist in dieser Studie von zentraler Bedeutung . Im dritten Teil dieser Studie führen wir eine Eigenraum - Analyse (oder : Analyse der Hauptkomponenten) des Verzerrungstensors und des Tensors der Krümmungsänderung ein. Aufgrund der komplexen Beziehungen zwischen den Elementen des Tensors auf der einen und den Eigenraum-Komponenten auf der anderen Seite, werden wir diese komplexen Verhältnisse mittels simultaner Diagonalisierung in einfachen Gleichungen darstellen. Dies liefert einfache Synthese - Gleichungen für die Eigenraum-Komponenten, welche beispielsweise für stochastische Aspekte verwendbar sind. Der letzte Teil dieser Studie ist den stochastischen Aspekten der Deformations-Analyse gewidmet. In der Gegenwart von Messfehlern bei der Erfassung von zufälligen Verschiebungsfeldern (unter Annahme eines normalverteilten Verschiebungsfeldes) wird das stochastische Verhalten der Eigenraum-Komponenten des Verzerrungstensors und des Tensors der Krümmungsänderung diskutiert. Dies wird durch eine Fehlerfortpflanzung von dem Verschiebungsvektor zu den Elementen des Deformationstensors (Verzerrungstensor und Tensor der Krümmungsänderung) erreicht. Aufgrund der komplexen Verhältnisse zwischen Tensorkomponenten (Verzerrungstensor und Tensor der Krümmungsänderung) und ihren Eigenraum - Komponenten verwenden wir hierfür simultane Diagonalisierung. Diesem Teil folgt eine Linearisierung des nichtlinearen multivariaten Gauss - Markov Modells, welches die Elemente der durch simultane Diagonalisierung transformierten mit den Eigenraum – Komponenten verbindet. Anschliessend stellen wir ein Beobachtungsmodell auf, welches auf einem linearisierten Modell der Eigenraum-Synthese basiert. Desweiteren erstellen wir linearisierte Beobachtungsgleichungen für n Stichproben von unabhängig- en Zufallsvektoren aus den transformierten Tensorelementen (unter Annahme der Normalverteilung), von denen jeder eine eigene Varianzmatrix besitzt. Dadurch erhalten wir die Statistiken zweiter Ordnung der Eigenraum-Komponenten. Anschliessend bestimmen wir die Kovarianzkomponenten zwischen den transformierten Tensorelementen mittels eines Helmert - Schätzers basierend auf a-priori Varianzinformationen. Um die konzeptuelle Kenntnis der stochastischen Aspekte der Deformationsanalyse zu verbessern, wird die Methode für reale Daten eines engmaschigen GPS Netzes der Cascadia Subduktionszone (CSZ) angewandt. Ein Vergleich der Ergebnisse zeigt, dass im Allgemeinen nach der Schätzung der Kovarianzmatrix der Beobachtungen (mittels simultaner Diagonalisierung transformierte Tensoren) die Varianzen der Eigenraumkomponenten kleiner werden. In manchen Regionen trat dies jedoch nicht ein, was an einer inkorrekten Beschreibung der anfänglichen Genauigkeiten liegen kann, die entweder zu pessimistisch oder zu optimistisch waren.