Nichtlineare Optimierung von Kurven und Flächen mit Hilfe von Splines

Abstract

Ausgangspunkt dieser Diplomarbeit war das Problem der Erzeugung glatter Freiformflächen beliebiger topologischer Struktur. Denn wenn man zur Lösung dieses Problems Splineflächen über einem bestimmten Parameternetz - wie zum Beispiel dem hier verwendeten Vierecksnetz - verwendet, so erhält man im Allgemeinen so genannte irreguläre Ecken in dem Netz. Im vorliegenden Fall sind das Ecken, an denen nicht die übliche Anzahl von vier Flächenstücken zusammenstoßen. Für das spezielle Problem einer geometrisch glatten Fläche wurden von Reif Bedingungen angegeben, welche die Konstruktion solcher Flächen mit Splines vom Grad zwei (in beiden Parameterrichtungen) - den quadratischen G-Splines - erlauben. Damit lassen sich nun n-seitige Lücken durch geometrisch glatte Flächen schließen. In der Praxis ist dies jedoch oft noch nicht ausreichend. Man möchte vielmehr unter den vielen glatten Flächen, die die Lücke füllen, diejenige aussuchen, welche eine optimale Form besitzt. Diese optimale Form drückt sich mathematisch darin aus, dass die gesuchte Fläche ein bestimmtes Funktional optimiert. Ziel dieser Diplomarbeit war die Entwicklung und Erprobung eines geeigneten, möglichst schnellen und stabilen Verfahrens zur Optimierung. Gewählt wurde dazu ein Verfahren zweiter Ordnung, das auf der Idee des Newtonverfahrens basiert. Es wird zunächst für den einfachsten Fall einer als Funktion darstellbaren Kurve entwickelt. An diesem Fall lassen sich die Auswirkungen der Wahl verschiedener Parameter und Methoden am besten studieren, und das Ergebnis ist ein Verfahren zur Optimierung solcher spezieller Kurven. Genau wie bei den "klassischen" Finiten Elementen erhält man als zu lösende Gleichung schließlich ein großes lineares Gleichungssystem, dessen Größe sich nach der Dimension des verwendeten Raumes für die Diskretisierung richtet, das heißt nach der Anzahl der Basisfunktionen. Je mehr Basisfunktionen man wählt, je feiner man den Raum also macht, desto besser wird die Lösung des Problems darin approximiert. Der nächste Schritt ist die Verallgemeinerung auf parametrisierte Kurven. Dies erfordert einige neue Überlegungen, und das Ergebnis ist ein Verfahren, mit dem sich optimale Kurven zu beliebigen Randvorgaben erzeugen lassen. Außerdem wird das Problem auch theoretisch untersucht und es stellt sich heraus, dass das untersuchte Optimierungsproblem eine lokal eindeutige Lösung besitzt. Schließlich wird das Verfahren auch noch für die Optimierung von Flächen modifiziert, allerdings nur für solche, die sich als Funktion darstellen lassen. Daraus ist ein in C++ geschriebenes Programm entstanden, welches das formoptimierte Füllen von solchen viereckigen Lücken erlaubt, für die sich die Lösungsfläche als Funktion darstellen lässt. Das Programm läuft auch für größere Flächen mit zum Beispiel 500 Kontrollpunkten noch in akzeptabler Zeit und kann auch auf mehreren Rechnern gleichzeitig arbeiten, wodurch die Rechenzeit noch erheblich gesenkt wird. Abschließend wird noch kurz diskutiert, inwieweit sich das Verfahren auch für parametrisierte Flächen eignet, mit denen sich dann beliebige vierseitige Lücken schließen lassen. Diese bilden schließlich die Grundlage für die Anwendung auf G-Spline-Flächen, mit denen auch n-seitige Lücken gefüllt werden können.