Bestimmung von Kompositionsfaktoren endlicher Gruppen aus Burnsideringen und ganzzahligen Gruppenringen

Abstract

Ausgangspunkt dieser Arbeit ist die Frage, inwieweit die Struktur einer endlichen Gruppe G durch spezielle arithmetische Eigenschaften, wie z.B. Ordnung, Spektrum und Primgraph, festgelegt ist. Dabei liegt das Hauptaugenmerk zunächst auf dem Primgraphen der Gruppe. Aus dieser Betrachtung entwickelt sich dann die Frage, inwieweit der Primgraph der Gruppe dazu verwendet werden kann, algebraische Strukturen zu untersuchen, die aus der Gruppe G abgeleitet werden können.

Zwei solcher Strukturen, die in dieser Arbeit betrachtet werden, sind der Burnsidering B(G) der Gruppe G und ihr ganzzahliger Gruppenring ZG. Bei der Untersuchung beider Strukturen spielt der Primgraph von G eine Rolle.

Bei Gruppen mit isomorphen Burnsideringen ist bekannt, dass sie identische Primgraphen und Ordnungen besitzen. Im ersten Teil der Arbeit wird gezeigt, dass aus gewissen zusätzlichen Eigenschaften des gemeinsamen Primgraphs folgt, dass die Kompositionsfaktoren der Gruppen übereinstimmen.

Im zweiten Teil der Arbeit wird der Primgraph von V(ZG), der Gruppe der normierten Einheiten von ZG, betrachtet. Für eine Klasse von Gruppen wird gezeigt, dass der Primgraph von V(ZG) mit dem von G übereinstimmt.

Abschließend werden endliche Untergruppen in den Einheitengruppen der ganzzahligen Gruppenringe bestimmter endlicher einfacher Gruppen untersucht. Speziell sind dabei die Gruppen PSL(2,q) von Interesse.

Underlying this thesis is the question of how far the structure of a finite group G is determined by special arithmetical properties like order, spectrum or prime graph. At first the main focus lies on the prime graph of the group. The results lead to the question whether the prime graph can be used to study algebraic structures that are derived from the group.

Two such structures which will be investigated are the Burnside ring B(G) and the integral group ring ZG of the group G. In the study of both the prime graph can play a role.

If the Burnside rings of two groups are isomorphic it is well known that the orders and the prime graphs of the groups are identical. At first it will be shown that additional properties of the common prime graph imply that the composition factors of the involved groups coincide.

In the second part of the thesis the prime graph of V(ZG), the group of normalized units of ZG, is investigated. For a class of groups it is shown, that the prime graphs of V(ZG) and G coincide.

Finally finite subgroups in the group of units of the integral group rings of special finite simple groups are studied. Especially the groups PSL(2,q) are of interest.