Wave packet dynamics in atomic systems and Bose-Einstein condensates

Abstract

The wave packet dynamics in atomic systems and in Bose-Einstein condensates is investigated by means of a time-dependent variational principle. The wave packets are assumed to be parametrized by a set of time-dependent parameters. The time evolution of the parameters of the coupled Gaussian wave packets can be calculated from a set of ordinary differential equations, as obtained from the time-dependent variational principle. Unfortunately, the set of equations is ill-behaved in most practical applications, depending on the number of propagated Gaussian wave packets, and methods for regularization are needed. A general method for regularization based on applying adequate nonholonomic inequality constraints to the evolution of the parameters, keeping the equations of motion well-behaved is presented. The power of the method is demonstrated for a non-integrable system with two degrees of freedom. The Gaussian wave packet (GWP) method is applied to the three-dimensional hydrogen atom. The regularization based on the introduction of Kustaanheimo-Stiefel coordinates and a fictitious time is performed. The regularization implies a transition from the three-dimensional physical position space to a four-dimensional parameter space, spanned by the Kustaanheimo-Stiefel coordinates. The regularization is accompanied by a restriction on physically allowed wave functions. The Coulomb potential is transformed to a harmonic potential and GWPs are the exact solutions, provided they fulfill the restriction. The effect of the restriction on the four-dimensional GWP is discussed and it is shown that the GWPs can satisfy the restriction if the Gaussian parameter space is reduced in a certain way. The exact analytic evolution of the restricted GWP is presented, and the expansion of a localized initial wave function in the restricted Gaussian basis set and its analytic propagation in the fictitious time are shown. Symmetry subspaces with conserved magnetic quantum number m and with conserved angular momentum quantum numbers l,m are treated separately. The method is also applied to the non-integrable H atom in in a homogeneous magnetic field and in perpendicular external electric and magnetic fields. The evolution of the wave packets is determined by the constrained time-dependent variational principle. The numerical results are compared to numerically exact values and show excellent agreement. Another class of systems where the variational Gaussian wave packet method yields good results are cold gases. In this thesis Bose-Einstein condensates are investigated, where in addition to the common short-range contact interaction two different long-range interactions, viz. a laser induced gravity-like 1/r-interaction or a magnetic dipole-dipole interaction are present. The dynamics as resulting from the time-dependent extended Gross-Pitaevskii equation for Bose-Einstein condensates with attractive 1/r-interaction is investigated with both the GWP method and numerically exact calculations. It is shown that these condensates exhibit signatures known from the nonlinear dynamics of autonomous Hamiltonian systems. The two stationary solutions created in a tangent bifurcation at a critical value of the scattering length are identified as elliptical and hyperbolical fixed points, corresponding to stable and unstable stationary states of the condensate. The stable stationary state is surrounded by elliptical islands, corresponding to condensates periodically oscillating in time, whereas condensate wave functions in the unstable region undergo a collapse within finite time. For negative scattering lengths below the tangent bifurcation no stationary solutions exist, i.e., the condensate is always unstable and collapses. The dynamics of condensates with inter-atomic magnetic dipole-dipole interaction is investigated in the mean field limit using a Gaussian trial function. The anisotropy of the magnetic dipole-dipole interaction breaks the spherical symmetry and for ordered dipoles an effectively two-dimensional system with cylindrical symmetry is obtained. Special attention is payed to the regularity of the dynamics and it is shown that a transition from regular to chaotic motion takes place with increasing energy where regions of regular and chaotic motion coexist. It is shown that stable modes exist at energies high above the saddle point energy, i.e. at energies where a collapse of the condensate is expected.

Die Wellenpaketdynamik in atomaren Systemen und in Bose-Einstein-Kondensaten wird unter Anwendung des zeitabhängigen Variationsprinzips untersucht. Die Wellenpakete sind parametrisiert und enthalten einen Satz von zeitabhängigen Parametern. Die Zeitentwicklung der Parameter der gekoppelten Gaußwellenpakete kann durch Lösung von Differentialgleichungen, die aus dem zeitabhängigen Variationsprinzip folgen, berechnet werden. Leider sind die gekoppelten Differentialgleichungen, abhängig von der Zahl der Gaußwellenfunktionen, in den meisten praktischen Anwendungen schlecht konditioniert und eine Regularisierung wird benötigt. Eine allgemein anwendbare Regularisierungsmethode basierend auf der Einführung geeigneter nicht-holonomer Ungleichungsnebenbedingungen an die Zeitentwicklung der Parameter wird vorgestellt und die Leistungsfähigkeit der Methode an einem zweidimensionalen nichtintegrablen System demonstriert. Es folgt die Anwendung der Gaußwellenpaket-Methode auf das dreidimensionale Wasserstoffatom. Die Schrödingergleichung wird durch Einführung von Kustaanheimo-Stiefel Koordinaten und einer fiktiven Zeit regularisiert. Die Regularisierung erfordert den Übergang vom dreidimensionalen physikalischen Ortsraum in einen vierdimensionalen Parameterraum aufgespannt durch die Kustaanheimo-Stiefel-Koordinaten. Dieser Übergang erfordert eine Zwangsbedingung, die physikalisch sinnvolle Wellenfunktionen erfüllen müssen. Die Regularisierung bildet das Wasserstoffatom auf den vierdimensionalen isotropen harmonischen Oszillator ab, sodass Gaußwellenpakete exakte Lösungen darstellen, vorrausgesetzt sie erfüllen die Zwangsbedingung. Es wird gezeigt, daß die Gaußwellenpakete die Zwangsbedingung erfüllen können, wenn der Raum der zulässigen Parameterwerte in einer bestimmten Weise eingeschränkt wird. Die exakte analytische Entwicklung der eingeschränkten Gaußwellenfunktionen in der fiktiven Zeit und die Entwicklung einer lokalisierten Startwellenfunktion nach diesen Funktionen wird dargestellt. Die Symmetrieunterräume mit scharfer magnetischer Quantenzahl m bzw. scharfen Drehimpulsquantenzahlen l,m werden gesondert betrachtet. Das entwickelte Verfahren wird auch auf das nichtintegrable Wasserstoffatom im äußeren magnetischen Feld und in gekreuzten elektrischen und magnetischen Feldern angewendet. Die Zeitentwicklung der Pakete ergibt sich aus dem Variationsprinzip mit Nebenbedingungen. Die Ergebisse stimmen mit numerisch exakten Ergebnissen ausgezeichnet überein. Eine weitere Klasse von Systemen in denen die Gaußwellenpaket-Methode gute Resultate liefert bilden kalte Gase. In dieser Arbeit werden Bose-Einstein-Kondensate untersucht, die neben der üblichen kurzreichweitigen Kontaktwechselwirkung langreichweitige Wechselwirkungen, wie die laserinduzierte 1/r-Wechselwirkung oder die magnetische Dipol-Dipol-Wechselwirkung zwischen den Teilchen aufweisen. Die Dynamik des Kondensates wie sie durch die Gross-Pitaevskii-Gleichung bestimmt ist, wird neben der Variationsrechnung mittels numerisch exakter Rechnungen untersucht. Es wird gezeigt, daß diese Systeme Eigenschaften besitzen, die man von autonomen Hamiltonschen Systemen kennt. Die beiden stationären Lösungen, die in einer Tangentenbifurkation bei einer kritischen Streulänge erzeugt werden, haben elliptischen bzw. hyperbolischen Character und entspechen einem stabilen und einem instabilen stationären Zustand des Kondensats. Der stabile Zustand ist von elliptischen Inseln umgeben, in denen das Kondensat periodisch oszilliert, in den instabilen Moden kollabiert das Kondensat in endlicher Zeit. Für negative Streulängen unterhalb der kritischen Streulänge existieren keine stationären Zustände, das Kondensat kollabiert. Die Dipol-Dipol-wechselwirkenden Kondensate werden ebenfalls im Mean-Field-Limit mit der Gaußwellenpaket-Methode untersucht. Die Anisotropie der magnetischen Dipol-Dipol-Wechselwirkung bricht die sphärische Symmetry und für geordnete Dipole erhält man effektiv ein zylindersymmetrisches zweidimensionales System. Besondere Aufmerksamkeit gilt der Regularität der Dynamik, die über Poincare Schnitte untersucht wird, und es zeigt sich, daß ein Übergang von regulärer zu chaotischer Dynamik mit steigender Energie stattfindet. Es werden stabile Moden weit oberhalb der Sattelpunktsenergie berechnet, wo man kollabierende Kondensate erwarten würde.