Modelling of intra- and inter species charged particle collisions for flow simulation in pulsed plasma thrusters

Abstract

A better physical understanding of electrical space propulsion systems like Pulsed Plasma Thrusters requires the numerical modelling and simulation of highly rarefied plasma flows. Mathematically, such phenomena demand a kinetic description which is established by the complete, time-dependent Boltzmann equation. An attractive numerical approach to tackle this complex non-linear problem consists of a combination of the well-known Particle-in-Cell (PIC) and Monte Carlo methods extended by a PIC-based Fokker-Planck solver, on which we focus our attention in the following. This numerical model accommodates the physics of interaction of charged particles with electromagnetic fields, inelastic electron-neutral scattering as well as intra- and inter-species charged particle Coulomb collisions. To describe elastic intra- and inter-species charged particle Coulomb collisions it is convenient to start from the Boltzmann collision integral with the classical Rutherford differential cross section. A Taylor series expansion up to second order in velocity of the post-collision distribution functions and the adoption of a cut-off value for the impact parameter permits the final integration of the Boltzmann integral to obtain the Fokker-Planck equation. The central quantities appearing in the Fokker-Planck equation are the friction force vector and the diffusion tensor. The keys to compute the friction and diffusion coefficients are the Rosenbluth potentials which are in turn complicate integrals of the field particle distribution function and the relative velocity between test and field particles. Usually, strong assumptions like isotropic velocity distribution of the scatterer, are made to evaluate the Rosenbluth potentials. Observing that the Rosenbluth potentials are convolution intergrals addresses the use of fast Fourier transform techniques to calculate these quantities and their derivatives rapidly with the advantage of being free of any additional assumption. Furthermore, such a determination the Rosenbluth potentials is the basis to model collisional relaxation in a complete self-consistent manner. In order to fit the three-dimensional Fokker-Planck equation of the scattered distribution function into a particle-based method framework, the equivalence with the stochastic differential equation (SDE) is exploit. The stochastic variable C(t) which obeys the SDE is later identified with the charged particle velocity. Also in this context the friction force vector and a matrix derived from the diffusion tensor play the central role. By means of Ito-Taylor expansion and Ito calculus the stochastic differential equation is discretised and numerical schemes are derived. In this work, explicit weak schemes up to approximation order two have been applied to update the particles velocity. These weak Ito-Taylor schemes together with the Fourier transform method and particle-mesh interface techniques form a remarkable simulation tool to study collisional relaxation processes from first principles. For instance by means of this tool, a more realistic evaluation of the time scales can be provided since the classical test-particle approach is not necessary anymore thanks to self-consistency. The introduced intra-species charged particle modelling can be easily adapted for inter-species electron-ion particle collisions. Finally, the structure of the developed PIC-based method to solve the Fokker-Planck equation also allows to combine intra- and inter-species collisions to perform coupled simulations.

Für ein besseres physikalisches Verständnis von elektrischen Antriebssystemen für die Raumfahrt, wie beispielsweise gepulste Plasma-Thruster, ist die numerische Modellierung und Simulation von hochverdünnten Plasmaströmungen unumgänglich. Die mathematische Formulierung solcher Phänomene basiert auf der kinetischen Beschreibung, wie sie durch die vollständige, zeitabhängige Boltzmanngleichung gegeben ist. Eine attraktive Strategie um das komplexe, nichtlineare Boltzmann-Problem numerisch anzugehen, besteht in der Kombination von bekannten Particle-in-Cell (PIC) und Monte Carlo Methoden, die durch einen PIC-basierten Fokker-Planck Löser erweitert werden müssen. Die Konstruktion und Entwicklung des PIC-basierten Fokker-Planck Lösers ist der Gegenstand der vorliegenden Arbeit.Das gesamte numerische Modell trägt der Physik der Wechselwirkung von geladenen Teilchen mit elektromagnetischen Feldern, der inelastischen Streuung von Elektronen mit Neutralteilchen als auch der Kollision zwischen gleichartigen (intraspezies) und verschiedenartigen (interspezies) geladenen Teilchen Rechnung. Zur Beschreibung der elastischen intra- und interspezies Coulomb Wechselwirkung geladener Teilchen ist es zweckmäßig vom Boltzmannschen Stoßintegral aus zu starten, wobei für den differentiellen Wirkungsquerschnitt die klassische Rutherfordformel benutzt wird. Eine Taylorentwicklung der gestreuten Verteilungsfunktionen nach der Geschwindigkeit bis zur zweiten Ordnung und die Annahme eines Grenzwertes des maximalen Stoßparameters erlauben es schließlich, das Boltzmannintegral zu integrieren, wodurch man zur Fokker-Planck Gleichung gelangt.Die zentralen physikalischen Größen, die in der Fokker-Planck Gleichung auftauchen sind der Vektor der Reibungskraft und der Diffusionstensor. Die Schlüsselelemente zur Berechnung dieser tensoriellen Koeffizienten sind die sogenannten Rosenbluthpotenziale. Diese sind ihrerseits komplizierte Integrale, die sich über den gesamten Geschwindigkeitsbereich erstrecken und deren Integranden aus dem Produkt der Verteilungsfunktion der Streuer-Teilchen und der Relativgeschwindigkeit der gestreuten und streuenden Partikel bestehen. Üblicherweise werden zur Berechnung dieser Potenziale oft sehr restriktive Annahmen gemacht: So wird gewöhnlich vorausgesetzt, dass die Geschwindigkeitsverteilung der Feldteilchen, wie die Streuer auch genannten werden, isotrop ist. Die Beobachtung, dass die Rosenbluthpotenziale Faltungsintegrale sind, legt das Vorgehen nahe, Techniken anzuwenden, die auf der Fouriertransformation basieren, um diese Potenziale und deren Ableitung zu bestimmen. Solch eine Vorgehensweise bringt den Vorteil mit sich, dass keinerlei Annahmen hinsichtlich der Gestalt der Verteilungsfunktion getroffen werden müssen.Es sei weiterhin erwähnt, dass diese Art der Bestimmung der Rosenbluthpotentiale den Grundstock für die selbstkonsistente Modellierung der Stoßrelaxation legt. Um die dreidimensionale Fokker-Planck Gleichung, welche die Entwicklung der gestreuten Verteilungsfunktion beschreibt, in den numerischen Rahmen der Teilchenmethoden einzubinden, wird die Äquivalenz dieser Gleichung zu den stochastischen Differentialgleichungen benutzt. Die stochastische Variable C(t), die solch einer Gleichung genügt, wird später mit der Geschwindigkeit der geladenen Teilchen identifiziert. Auch im Kontext der stochastischen Differentialgleichungen spielen die oben erwähnte Reibungskraft und eine Matrix, die von dem Diffusionstensor abgeleitet ist, eine zentrale Rolle. Mit Hilfe der Ito-Taylor Entwicklung und dem auf Ito zurückgehenden Rechenverfahren gelingt es, die stochastische Differentialgleichung zu diskretisieren und geeignete numerische Schemata abzuleiten. In der vorliegenden Arbeit wurden sogenannte explizite, schwache Schemata bis zur Verfahrensordnung zwei herangezogen, um die Geschwindigkeit der geladenen Simulationsteilchen zu bestimmen. Diese schwachen Ito-Taylor Verfahren stellen im Zusammenhang mit der verwendeten Fouriertransformationsmethode und den Teilchen-Gitter Kopplungstechniken ein bemerkenswertes Simulationswerkzeug dar, mit dessen Hilfe sich der Stoßrelaxationsprozess ohne spezielle Annahmen oder Modellen untersuchen läßt. Als Folge dieser selbstkonsistenten Berechnungmethode lassen sich beispielsweise unterschiedliche Zeitskalen des Relaxationsprozesses realistischer ermitteln als mit dem sogenannten Testteilchen-Ansatzes. Die vorgestellte Modellierung der Streuung gleichartiger geladener Teilchen läßt sich direkt auf die interspezies Wechselwirkung zwischen Elektronen und Ionen übertragen. Darüber hinaus erlaubt die Struktur der entwickelten, auf der PIC-Technik basierenden Methoden die numerische Simulation der gekoppelten Prozesse von intra- und interspezies Wechselwirkung.