Über Differenzierbarkeit 2-dimensionaler projektiver Ebenen : am Beispiel von Schiebe- und Schellhammer-Ebenen

Abstract

In dieser Arbeit sollen ausgesuchte Familien von (2-dimensionalen) projektiven Ebenen auf Differenzierbarkeit untersucht werden. Dabei bedeutet "differenzierbar", dass Punktmenge und Geradenmenge der Ebene differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind, so dass "Schneiden von Geraden" und "Verbinden von Punkten" differenzierbar ist.

Eine jede differenzierbare projektive Ebene ist auch eine topologische Ebene und es gibt viele höchst verschiedene Beispiele topologischer projektiver Ebenen, die bis zu einem gewissen Grad sogar klassifiziert sind.

Bei differenzierbaren projektiven Ebenen stellt sich die Situation ganz anders dar: Bis jetzt sind nur sehr wenige Beispiele differenzierbarer projektiver Ebenen bekannt. Abgesehen von den klassischen Beispielen über den reellen Zahlen, den komplexen Zahlen, den Quaternionen und den Oktaven gibt es eine Konstruktion sehr starrer Beispiele von Otte (bei denen es unklar ist, ob sie nichttriviale Automorphismen besitzen) und eine Konstruktion von B. Segre, von der Immervoll gezeigt hat, dass sie differenzierbare projektive Ebenen liefert, welche sogar große Automorphismengruppen aufweisen.

Differenzierbare affine (oder allgemeiner stabile) Ebenen sind hingegen leichter zu finden. Im Gegensatz zu topologischen Ebenen, wo der projektive Abschluss einer lokalkompakten, zusammenhängenden affinen Ebene eine kompakte topologische projektive Ebene ist, gibt es differenzierbare affine Ebenen, deren projektiver Abschluss nicht differenzierbar ist.

Auf der Suche nach Beispielen differenzierbarer Ebenen bietet es sich an, bekannte topologische Ebenen darauf hin zu untersuchen, ob Punkt- und Geradenmenge eine differenzierbare Struktur zulassen, so dass "Schneiden" und "Verbinden" differenzierbar wird. Kompakte zusammenhängende topologische projektive Ebenen können bezüglich der Dimension und Struktur ihrer Automorphismengruppen klassifiziert werden und in diesem Rahmen lässt sich die Suche nach differenzierbaren Ebenen recht systematisch durchführen. Bödi hat in seiner Habilitationsschrift bewiesen: übersteigt die Dimension der Automorphismengruppe einer Ebene eine gewisse Schranke, so ist die Ebene nur dann differenzierbar, wenn sie isomorph zur entsprechenden klassischen Ebene ist. Es ist naheliegend, die verbleibenden bekannten Klassen und Familien kompakter zusammenhängender topologischer Ebenen auf Differenzierbarkeit zu untersuchen. Da die Beschreibung dieser Familien allerdings sehr allgemein ist -- meist gestützt auf einzelne oder mehrere Funktionen, die relativ schwachen Anforderungen genügen müssen und mit deren Hilfe man die Punktreihen der Geraden beschreibt --, kann die Untersuchung sehr unangenehm werden. In der Regel wird es wohl bei solchen Klassen nötig sein, mit Hilfe geometrischer Operationen und der Wirkung der Automorphismengruppe die differenzierbare Struktur zu konstruieren, die in einer differenzierbaren Ebene notwendigerweise vorliegen muss, um dann Schneiden und Verbinden zu untersuchen. Das eigentliche Konstruieren der differenzierbaren Struktur ist dabei weniger das Problem, sondern die dann konkret anzugebenden Karten und der Umgang mit diesen: Die auftretenden Terme werden zum Teil so unangenehm, dass auch -- oder gerade -- Computeralgebrasysteme keine Hilfe mehr darstellen.

Im Fall 2-dimensionaler Ebenen hat Bödi gezeigt, dass differenzierbare projektive Ebenen mit mindestens 3-dimensionaler Automorphismengruppe isomorph zur klassischen Ebene über den reellen Zahlen sind. Da die 2-dimensionalen kompakten zusammenhängenden topologischen projektiven Ebenen mit 2-dimensionaler Automorphismengruppe vollständig klassifiziert sind, soll deshalb mit dieser Arbeit anhand zweier Familien begonnen werden, diese Ebenen systematisch auf Differenzierbarkeit zu untersuchen. In Kapitel 4 wird eine Familien von Schiebe-Ebenen studiert, die zwar eine differenzierbare affine Teilebene besitzen, im Allgemeinen aber als projektive Ebene nicht differenzierbar sind. In Kapitel 5 werden Schellhammer-Ebenen untersucht. Dort ist es zwar möglich, Ebenen mit differenzierbaren stabilen Teilebenen zu finden, jedoch ist eine affine oder projektive differenzierbare Schellhammer-Ebene, sofern sie gewisse Zusatzvoraussetzungen erfüllt, isomorph zur klassischen Ebene über den reellen Zahlen.

In this thesis we study differential projective planes, i.e. projective planes where the point set and line set respectively are differential manifolds such that joining of points and intersection of lines are differentiable maps.

Up to now there are few examples of differential projective planes known. It is considered common knowledge that the classical projective planes over the real numbers, the complex numbers, the quaternions and the Cayley numbers are differential. Then there are some rather rigid planes constructed by Otte for which it is not clear if they admit non trivial automorphisms at all. Furthermore there is a construction by B. Segre for which Immervoll provided the proof that they are indeed differential projective planes. The latter examples even have relatively large groups of automorphisms. Apart from these examples there is some theory mainly due to or collected by Bödi in his Habilitationsschrift.

As for topological planes, under mild topological conditions one gets a topological projective plane from a topological affine plane simply by taking the projective closure. When one considers differential planes things are not that easy. In fact there are examples of differential affine planes which do not admit a differential projective closure (although the underlying planes -- the affine plane and its projective closure -- are both topological planes).

In order to procure examples of differential projective planes we start from known topological projective planes and try to find out whether they admit a differential structure such that differential projective planes result. The focus hereby shall be on the 2-dimensional planes.

Due to Bödi it is known that a 2-dimensional differential projective plane which admits a group of automorphisms of dimension at least 3 is isomorphic to the classical plane over the real numbers. That means non-classical examples of differential projective planes can only be found among planes whose automorphism group has dimension 2 or less. The 2-dimensional topological projective planes admitting a group of automorphisms of dimension 2 are explicitly known. We will study two different classes of planes of that kind.

In chapter 4 we will study a special family of 2-dimensional shift planes. The action of a Lie-group on the set of points and the set of lines provides parts of a differential structure that are necessary to get a differential plane. The remaining gaps in the differential structure can also be closed.

We will prove that in this way one obtains a differential affine plane. But we are also able to prove under certain further conditions that these differential affine planes do not extend to differential projective planes.

In chapter 5 we will discuss the family of Schellhammer-planes. In general we will see that a Schellhammer plane is a differential plane precisely if it is isomorphic to the classical plane over the real numbers.

Any 2-dimensional Schellhammer plane can be described using the complex numbers plus a set of points at infinity as point space. The point rows of standard lines are determined by a suitable function leading to a description in polar coordinates. The special lines are the ordinary straight lines through the origin and the line at infinity containing the points at infinity.

As was the case with shift planes the differential structure a differential Schellhammer plane would have to carry is determined by a group action up to a certain degree. In general the inverse function theorem makes it possible to fill in the gaps in the differential structure using geometric operations. Based on this differential structure it is possible to formulate conditions on the generating function that determine whether the corresponding Schellhammer plane is differential or not. Using Fourier series we are then able to conclude that this is the case only if the plane is the classical projective plane over the real numbers.