Analysis of real-world spatial dependence of subsurface hydraulic properties using copulas with a focus on solute transport behaviour

Abstract

Copulas are a novel tool in geostatistics that allows modelling of pure spatial dependence independently of the marginal distribution and without an assumption of multivariate Gaussian dependence. By using a transformation via the marginal distribution, the effect of extreme values is substantially decreased compared to traditional Gaussian based geostatistical measures such as Kriging. Additionally, the dependence is not described as an average variance as in Kriging, but a different degree of dependence can be modelled for different quantiles of the marginal distribution. Two data-sets from field sites at Borden and North Bay, both in Ontario, Canada, were used to test the performance of copulas as stochastic models for spatial dependence. Furthermore, this thesis explores possible effects of modelling spatial dependence using non-Gaussian copulas on physical properties that are based on such heterogeneous fields. For comparison, the effects of Gaussian structures are evaluated. The Gaussian- and non-Gaussian structures can not be distinguished by their variograms. It was shown that neither of the two data-sets exhibits Gaussian dependence – despite the fact that the Borden aquifer is commonly thought of as a relatively homogeneous porous medium with a small variance of hydraulic conductivity. Two non-Gaussian copula models, v-copulas and maximum Gaussian copulas were fitted to the hydraulic conductivity data, to be compared with a Gaussian copula model. The theoretical copula models were subsequently used for spatial interpolation and simulation. In addition to evaluating the spatial dependence structure of the hydraulic conductivity data-sets, fitting theoretical copula models and using them for interpolation and simulation, the goal of this thesis is to explore if the structure of the hydraulic conductivity field influences a physical property, such as plume evolution as evaluated by second central moments of concentration fields. Despite the fact that Borden is a relatively homogeneous porous medium, and despite the fact that both types of spatial fields are not distinguishable by their variograms, the solute transport characteristics based on these two types of fields differ significantly in two- dimensional settings. The difference is less pronounced in three-dimensions. Non-Gaussian dependence can lead to a non-symmetric distribution of variance of concentration along the main direction of flow. Increasing the variance of a marginal distribution by a certain factor does not necessarily lead to a dispersivity increased by the same factor in the case of non-Gaussian fields. It is postulated that non-Gaussian spatial dependence of hydraulic conductivity and a more skewed marginal distribution of hydraulic conductivity will have significant implications in the other more heterogeneous aquifers.

Mit Hilfe von Copulas, einem neuen Werkzeug der Geostatistik, kann eine reine Zusammenhangsstruktur unabhängig von Randverteilungen modelliert werden - ohne dass Annahmen bezüglich eines Gauss-Zusammenhangs getroffen werden müssen. Durch die Transformation über die Randverteilungsfunktion wird der Einfluss von Extremwerten im Vergleich zu traditionellen geostatistischen Methoden die auf Gauss-Annahmen beruhen, wie zum Beispiel Kriging, substantiell reduziert. Ausserdem wird die Abhängigkeit nicht durch eine durchschnittliche Varianz beschrieben, wie es der Fall bei Kriging ist. Vielmehr kann ein unterschiedlich starker Zusammenhang für verschiedene Quantile der Randverteilung beschrieben werden. Als Datengrundlage dienen zwei Datensätze hydraulischer Leitfähigkeit gemessen in Aquiferen bei Borden und North Bay, beide in Ontario, Kanada. Diese werden benutzt, um Copulas als stochastische Modelle für räumliche Abhängigkeit zu verwenden und zu prüfen. Darüber hinaus werden in dieser Dissertation die Effekte der angepassten nicht-Gauss Zusammenhangstruktur auf physikalische Eigenschaften untersucht, die auf heterogenen räumlichen Feldern beruhen. Zum Vergleich werden ebenfalls Effekte basierend auf Gauss Zusammenhangstrukturen untersucht. Beide Typen von Strukturen - Gauss und nicht-Gauss - sind so modelliert, dass sich ihr Variogram nicht unterscheidet. Es wird gezeigt, dass keiner der beiden Datensätze einen räumlichen Zusammenhang mit Gauss-Struktur besitzt - obwohl der Aquifer von Borden als ein relativ homogenes poröses Medium mit einer kleinen Varianz in hydraulischer Leitfähigkeit angesehen wird. Zwei asymmetrische Copula Modelle mit nicht-Gauss Zusammenhang, v-Copulas und maximum-Gauss Copulas, wurden an die beiden Datensätze hydraulischer Leitfähigkeit angepasst und mit entsprechenden Gauss-Copula Modellen verglichen. Diese theoretischen Copula Modelle wurden im folgenden für räumliche Interpolation und Simulation verwendet. Neben der Evaluierung der räumlichen Abhängigkeitsstruktur der beiden Datensätze hydraulischer Leitfähigkeit, der Anpassung von theoretischen Copula Modellen an die beiden Datensätze und räumlicher Simulation und Interpolation ist das Ziel dieser Dissertation zu quantifizieren, wie die räumliche Struktur der hydraulischen Leitfähigkeit eine physikalische Eigenschaft beeinflusst, wie zum Beispiel das Ausbreitungsverhalten von Gelöststoffen im Untergrund, gemessen an räumlichen Momenten der Gelöststoff-Fahne. Obwohl der Borden-Aquifer ein relativ homogenes poröses Medium ist, und obwohl beide angepassten Typen räumlicher Abhängigkeitsstrukturen sich nicht in ihren Variogrammen unterscheiden, unterscheiden sich die Gelöststoff-Transporteigenschaften basierend auf den beiden Typen des räumlichen Zusammenhangs signifikant, in zwei und in drei Dimensionen. Weiterhin kann ein nicht-Gauss Zusammenhang in hydraulischer Leitfähigkeit zu einer asymmetrischen Verteilung der Varianz der Gelöststoff-Fahne in Hauptausbreitungsrichtung führen. Eine Erhöhung der Varianz in der Randverteilung bei nicht-Gauss räumlichen Zusammenhang führt nicht zu einer Erhöhung der Dispersivität um den gleichen Faktor. Es wird postuliert, dass nicht-Gauss räumlicher Zusammenhang und eine schiefere Randverteilung hydraulischer Leitfähigkeit signifikante Auswirkungen in anderen mehr heterogenen Aquiferen haben wird.