On the possibility of fractional statistics in the two-dimensional t-J model at low doping

Abstract

The purpose of this work is the derivation of an effective field theory for the low-energy magnetic modes of the t-J model on a two-dimensional square lattice and for small values of doping, which is of relevance to the physics of high-temperature superconductors. In particular, we address the possibility of low-energy excitations that obey fractional spin and statistics.

For temperatures where <i>k_BT</i> is considerably smaller than the magnetic exchange coupling <i>J</i> and for low values of doping, the system is close to an antiferromagnetically ordered N&eacute;el state and the spin correlation length takes values significantly larger than the lattice constant <i>a</i>, such that a field theoretic analysis is justified. The effective model is obtained by means of a gradient expansion around the antiferromagnetically ordered reference state. Dimensional analysis shows that in (2+1) dimensions only terms up to order <i>O(a²)</i> in the effective action are relevant to the behaviour at large scales, whereas <i>O(a³)</i>-terms are marginal and higher order terms are irrelevant. Even though marginal, the <i>O(a³)</i>-contributions may drastically influence the properties of excitations, as they might feature a term of topological nature which endows field histories with a statistical phase factor. In fact, all field histories can be characterized as mappings from compactified spacetime, the three-sphere <i>S³</i>, to the order parameter space <i>S²</i> and thus fall into different homotopy classes. The topological invariant characterizing these homotopy classes is given by the Hopf invariant. Consequently, if the Hopf invariant emerges in the effective field theory, the spin and statistics of low-energy excitations fractionalize.

The analysis is based on a path integral representation of the t-J model which was obtained recently by means of Dirac quantization. After introducing a staggered quantization axis, the single occupancy constraint which is inherent to the t-J model can be taken into account exactly. We perform a long-wavelength, low-frequency gradient expansion of the effective action and integrate over the fermionic degrees of freedom as well as the fast-fluctuating bosonic modes. Since our derivation is based on a microscopic model, we obtain an effective action where the doping dependence of the coupling constants is made explicit.

Die vorliegende Arbeit behandelt die Ableitung einer effektiven Feldtheorie der niederenergetischen magnetischen Moden des t-J Modells auf einem zweidimensionalen quadratischen Gitter im Grenzfall niedriger Dotierung, welches von Bedeutung f&uuml;r die Physik der unkonventionellen Kuprat-Supraleiter ist. Im Speziellen untersuchen wir das m&ouml;gliche Auftreten von Anregungen mit fraktionellem Spin und fraktioneller Statistik.

F&uuml;r niedrige Temperaturen, <i>k_BT</i> hinreichend kleiner als die magnetische Austauschkopplung <i>J</i>, und bei geringer Dotierung, befindet sich das System nahe der antiferromagnetisch geordneten N&eacute;el-Phase. Die Korrelationsl&auml;nge kann in diesem Fall als wesentlich gr&ouml;&szlig;er als die Gitterkonstante <i>a</i> angenommen werden, was einen feldtheoretischen Zugang erm&ouml;glicht. Unter Verwendung einer Gradientenentwicklung um den antiferromagnetischen Referenzzustand, wird die effektive Wirkung des t-J Modells abgeleitet. Mittels Dimensionsanalyse l&auml;sst sich zeigen, dass lediglich Terme bis zur Ordnung <i>a²</i> relevant f&uuml;r das Verhalten auf gro&szlig;en Skalen sind, wohingegen Terme dritter Ordnung als marginal, Terme h&ouml;herer Ordnung als irrelevant einzustufen sind. Beitr&auml;ge in <i>O(a³)</i> k&ouml;nnen dennoch einen signifikanten Einfluss auf die Eigenschaften magnetischer Anregungen haben. Sie beinhalten unter Umst&auml;nden einen topologischen Term, welcher spezifische Feldkonfigurationen mit einem statistischen Phasenfaktor versieht. In der Tat lassen sich s&auml;mtliche Feldkonfigurationen als Abbildungen der kompaktifizierten Raumzeit, der Dreisph&auml;re <i>S³</i>, in den Raum des Ordnungsparameters <i>S²</i> auffassen und fallen somit in unterschiedliche Homotopieklassen. Die topologische Invariante, welche diese Homotopieklassen charakterisiert, ist durch die Hopf-Invariante gegeben. Tritt sie in der effektiven Wirkung auf, f&uuml;hrt dies zwangsl&auml;ufig zu einer Fraktionalisierung von Spin und Statistik der niederenergetischen Anregungen.

Die Analyse basiert auf einer Pfadintegraldarstellung des t-J Modells, welche mittels Dirac-Quantisierung ermittelt wurde. Die dem t-J Modell anhaftende Zwangsbedingung der Einfachbesetzung l&auml;sst sich durch Einf&uuml;hrung einer alternierenden Quantisierungsachse exakt behandeln. Basierend auf dieser Darstellung f&uuml;hren wir die Gradientenentwicklung durch und integrieren sowohl &uuml;ber die fermionischen, als auch &uuml;ber die schnell-fluktuierenden bosonischen Freiheitsgrade. Wir erhalten die Kopplungskonstanten der effektiven Wirkung explizit in Abh&auml;ngigkeit der Dotierung.