Extended modelling of the multiphasic human brain tissue with application to drug-infusion processes

Abstract

The brain is the most significant and complex organ of human beings and plays a key role as the control centre of the nervous system. At first glance, the brain seems to be adequately protected against external influences by the rigid skull. However, severe situations may arise if the functionality of the system is compromised within the intracranial cavity itself. For example, a life-threatening situation is caused by solid neoplasm, commonly known as brain tumours. It is obvious that an adequate theoretical modelling of the brain allows a simulation of the occurring biomechanical effects under certain circumstances. This contributes to a profound understanding of the complex processes within the tissue aggregate. Moreover, it provides the possibility to numerically study new medical treatment options and their clinical results in order to support and assist the practising surgeons. However, the biomechanical modelling of the brain is a challenging task. Certainly, this is caused by the patient-specific structural complexity of the three-dimensional anatomical shape of the brain. Moreover, the brain-tissue aggregate is a complex subject of multicomponent nature with electro-chemical properties. In this respect, the tissue characteristics of the brain-matter constituents show significant anisotropic and heterogeneous properties, which require an extended description within the framework of porous materials.

In this monograph, the relevant anatomical and physiological aspects of the human brain are briefly summarised. Therein, the main focus is placed on the composition of the brain’s tissue-aggregate and the specific characteristics of its components, as far as needed for the modelling approach. The research rationale is considered by means of tumour diseases and their current treatment options. Related medical-imaging methods are introduced, which enable an insight into living tissues and, therefore, provide the possibility for a patient-specific determination of material parameters. Afterwards, the continuum-mechanical fundamentals, required for the description of the brain matter, are given. Therefore, the basic concept of the Theory of Porous Media (TPM) is applied to the multicomponent tissue-aggregate. In particular, a four-constituent model is investigated, which consists of three immiscible phases and one miscible component. The immiscible phases of the tissue-aggregate are represented by the solid skeleton (i. e. tissue cells and vascular walls), the blood and the overall interstitial fluid. Moreover, the interstitial fluid is constituted by a liquid solvent and a dissolved therapeutic solute (as a result of a medical administration). For this purpose, elements of the Theory of Mixtures are embedded in the standard TPM in order to enable the description of miscible components. Furthermore, the kinematical relations of superimposed constituents are provided, and the balance equations for the overall aggregate as well as for its particular constituents are presented. Based on that, the specific adaptation of the material-independent balance equations by an appropriate constitutive setting is discussed. Therefore, constitutive relations are derived, which describe the characteristic material behaviour of the brain’s tissue. In this regard, the constitutive assumptions for the constituents involved, is examined by means of a thermodynamically consistent framework in terms of an evaluation process of the entropy inequality. On this theoretical basis, the numerical realisation of the developed model is investigated. Therefore, the finite-element method is chosen as a suitable numerical methodology to approximate the solution of the arising set of coupled partial differential equations. For this purpose, the weak formulations of the governing balance relations are discretised in space and time. This numerical part is concluded by the description of the applied monolithic solution strategy. Finally, the application of the derived theoretical and numerical investigations to the human brain is carried out. Therein, capabilities for a patient-specific estimation of required simulation parameters, such as local anisotropic permeabilities and diffusivities, are studied in detail. Next, the possibilities for a customised creation of geometries for the simulation of realistic initial-boundary-value problems are discussed. This finally allows the study of selected numerical examples, demonstrating the feasibility of the presented modelling approach. These examples start with the basic material behaviour of brain tissue and then face the invasive delivery process of therapeutics. In this regard, the therapeutical distribution is shown for realistic geometries of the human brain and, afterwards, a survey on the influence (by a local numerical sensitivity analysis) of several involved simulation parameters is examined.

Das Gehirn ist das wichtigste Organ des Menschen und nimmt durch die zentrale Steuerung des Nervensystems eine Schlüsselrolle in der Informationsverarbeitung sowie der Kontrolle des menschlichen Körpers ein. In der Regel ist das Gehirn durch seine Lage innerhalb des starren Schädels ausreichend gegen äußere Einwirkungen geschützt. Jedoch können innerhalb des Schädels durch Veränderungen im Gehirn äußerst kritische Situationen entstehen, wie beispielsweise durch krankhafte Gewebewucherungen (Gehirntumore). Die möglichen Behandlungsoptionen nach einem medizinischen Befund bleiben allerdings oft unzufriedenstellend. In diesem Zusammenhang bieten numerische Simulationen, die auf einer fundierten theoretischen Modellierung des Gehirns basieren, eine aussichtsreiche Möglichkeit, die auftretenden biomechanischen Effekte infolge unterschiedlicher Behandlungsoptionen zu bestimmen und dadurch sogar vorhersagen zu können. Eine solche Materialmodellierung trägt zum fundierten Verständnis der ablaufenden Prozesse im Gehirngewebe bei und bietet darüber hinaus die Möglichkeit, neuartige medizinische Behandlungsmöglichkeiten zu testen und dadurch die praktizierenden Chirurgen in der klinischen Anwendung zu unterstützen. Die (patienten-spezifische) Modellierung des menschlichen Gehirns stellt jedoch eine Herausforderung dar, welche nicht nur der dreidimensionalen strukturellen Komplexität des Gehirns geschuldet ist. Das Gehirngewebe besitzt zudem eine mehrphasige und mehrkomponentige Zusammensetzung mit elektro-chemischen Eigenschaften, wobei der anisotrope und heterogene Aufbau des Gehirngewebes eine erweiterte Materialbeschreibung zwingend erfordert.

In dieser Arbeit wird zunächst ein kurzer Überblick über die Anatomie des menschlichen Gehirns gegeben. Der Schwerpunkt liegt dabei auf der für die Modellbildung des Gehirns grundlegenden Zusammensetzung des Gewebeaggregats sowie den spezifischen Eigenschaften der einzelnen beteiligten Komponenten. Im Hinblick auf eine angemessene Behandlung bei Tumorerkrankungen wird ein Überblick zu konventionellen und neuartigen Behandlungsmöglichkeiten gegeben. Medizinische Bildgebungsverfahren werden vorgestellt, welche durch den Einblick in lebendes Gewebe eine Möglichkeit zur Ermittlung von patienten-spezifischen Materialparametern bereitstellen. Die kontinuumsmechanischen Grundlagen für die mehrphasige und mehrkomponentige Beschreibung des Gehirns werden eingeführt. Dazu wird das Konzept der Theorie Poröser Medien (TPM) auf das Gehirngewebe angewandt. Es wird ein Vier-Komponenten-Modell entwickelt, welches aus drei nicht mischbaren Konstituierenden und einer mischbaren Komponente besteht. Die nicht mischbaren Konstituierenden sind durch das Festkörperskelett (Gewebezellen und Gefäßwände), das Blut und die gesamte interstitielle Flüssigkeit gegeben. Dabei wird die Letztere durch eine reale Mischung eines flüssigen Lösungsmittels mit einem gelösten therapeutischen Stoff modelliert. Zur Behandlung mischbarer Komponenten im Rahmen der TPM muss diese zusätzlich um Elemente der Theorie der Mischungen erweitert werden. Ferner werden die kinematischen Relationen der überlagerten Komponenten dargestellt sowie die beschreibenden Bilanzgleichungen für das Gesamtaggregat als auch für ihre miteinander interagierenden Komponenten zusammengestellt. Darauf aufbauend werden die materialunabhängigen Bilanzgleichungen durch geeignete konstitutive Einstellungen vervollständigt. Dazu werden konstitutive Beziehungen über eine thermodynamisch konsistente Betrachtung aus der Entropieungleichung entwickelt und ermöglichen somit die charakteristische Materialbeschreibung des Gehirngewebes. Nach diesem theoretischen Teil erfolgt die numerische Umsetzung des vorgestellten Modells. Hierzu wird die Finite-Elemente-Methode zur Lösung des gekoppelten partiellen Differentialgleichungssystems verwendet. Ausgehend von den schwachen Formulierungen der beschreibenden Bilanzgleichungen folgt eine Diskretisierung in Raum und Zeit sowie die Vorstellung der gewählten Lösungsstrategie. Abschließend werden die theoretischen und numerischen Entwicklungen bei Simulationen des menschlichen Gehirns zur Anwendung gebracht. Hierzu werden zunächst die Möglichkeiten zur Bestimmung der erforderlichen Simulationsparameter untersucht. Anschließend werden zwei Optionen zur Generierung von geeigneten patienten-spezifischen Geometrien zur Simulation von realistischen Randwertproblemen beschrieben. Die Realisierung von ausgewählten numerischen Beispielen demonstriert die Leistungsfähigkeit und Bandbreite des entwickelten Modells. Nach der Diskussion des grundlegenden Materialverhaltens wird eine detaillierte numerische Studie zur invasiven Verabreichung von Medikamenten durchgeführt. Darüber hinaus werden der Einfluss verschiedener Simulationsparameter durch eine lokale numerische Sensitivitätsanalyse untersucht sowie weitere Effekte betrachtet, die einen Einfluss auf den Verabreichungsprozess haben können.