A two scale model for liquid phase epitaxy with elasticity

Abstract

Epitaxy, a special form of crystal growth, is a technically relevant process for the production of thin films and layers. It gives the possibility to generate microstructures of different morphologies, such as steps, spirals or pyramids. These microstructures are influenced by elastic effects in the epitaxial layer. There are different epitaxial techniques, one is the so-called liquid phase epitaxy. Thereby, single particles are deposited out of a supersaturated liquid solution on a substrate where they contribute to the growth process.

The thesis studies a two scale model including elasticity, introduced in [Ch.Eck, H.Emmerich. Liquid-phase epitaxy with elasticity. Preprint 197, DFG SPP 1095, 2006]. It consists of a macroscopic Navier-Stokes system and a macroscopic convection-diffusion equation for the transport of matter in the liquid, and a microscopic problem that combines a phase field approximation of a Burton-Cabrera-Frank model for the evolution of the epitaxial layer, a Stokes system for the fluid flow near the layer and an elasticity system for the elastic deformation of the solid film. Suitable conditions couple the single parts of the model.

As main result, existence and uniqueness of a solution is proven in suitable function spaces. Furthermore, an iterative solving procedure is proposed, which reflects on the one hand the strategy of the proof of the main result via fixed point arguments and, on the other hand, can be a basis for an numerical algorithm.

Epitaxie ist ein technischer Kristallwachstumsprozess zur Herstellung dünner Kristallschichten. Diese weisen dabei oft Mikrostrukturen verschiedener Form und Ausprägung auf, wie zum Beispiel Stufen, Spiralen oder Pyramiden. Die Ausbildung dieser Mikrostrukturen wird unter anderem durch elastische Effekte in der epitaktischen Schicht beeinflusst. Es gibt verschiedene Varianten der Epitaxie, eine davon ist die sogenannte Flüssigphasenepitaxie. Dabei lagern sich einzelne Teilchen aus einer übersättigten flüssigen Lösung auf einem Substrat ab und tragen dort zum Wachstum bei.

In dieser Arbeit wird ein Zweiskalenmodell zur Flüssigphasenepitaxie unter Berücksichtigung elastischer Verformungen untersucht. Dieses Modell wurde in [Ch.Eck, H.Emmerich. Liquid-phase epitaxy with elasticity. Preprint 197, DFG SPP 1095, 2006] eingeführt. Es besteht aus makroskopischen Navier-Stokes-Gleichungen und einer makroskopischen Konvektions-Diffusions-Gleichung für den Massentransport in der Flüssigkeit, sowie einem mikroskopischen Problem, zusammengesetzt aus einer Phasenfeldapproximation eines Burton-Cabrera-Frank-Modells zur Beschreibung der epitaktischen Schicht, einem Stokes System in der Flüssigkeit nahe der Schicht und einer Elastizitätsgleichung für die elastischen Effekte in der Schicht. Die einzelnen Teilprobleme sind durch geeignete Bedingungen gekoppelt.

Das Hauptresultat der Arbeit ist der Beweis der Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung des Zweiskalenmodells mit Hilfe von Fixpunktargumenten. Des Weiteren wird eine iterative Lösungsstrategie vorgeschlagen, die auf der einen Seite die Beweisstruktur des Hauptresultats widerspiegelt, und auf der anderen Seite die Grundlage für einen numerischen Lösungsalgorithmus sein kann.