Efficient schemes for parameterized multiscale problems

Abstract

This thesis investigates efficient schemes for parameterized multiscale problems. The reduced basis method is a well-known technique for the reduction of computational effort for parameterized partial differential equations. Herein two extensions of the methodology are introduced.

First, an extension to problems with high parameter dimension is suggested. This so-called online greedy basis construction approach relies on building parameter-dependent reduced-dimensional approximation spaces during the main computational phase, the so-called online-phase. Bases constructed using the online greedy basis construction are much smaller than those constructed using conventional greedy methods and runtime improvements can be observed for certain cases.

Secondly, the reduced basis method is combined with ideas from so-called multiscale methods to make it applicable to problems with multiscale character by overcoming the lack of control over the runtime of its preparatory phase, the so-called offline-phase. It is established that a novel approach, the localized reduced basis multiscale method, allows to displace the computational effort between the two phases of the reduced basis method. This technique is applied to stationary heat diffusion problems and to two-phase flow in porous media.

Additional performance can be reached by using multiscale methods as efficient solvers during the preparatory phase of the localized reduced basis method. A parallelization concept for these methods is introduced and scaling tests for an implementation of the concept are presented.

Finally some details on our implementations of multiscale methods and of the aforementioned extensions to the reduced basis method are presented.

Diese Dissertation untersucht effiziente Algorithmen zur Behandlung von parametrisierten Mehrskalenproblemen. Eine Standardmethode der Modellreduktion für parametrisierte partielle Differentialgleichungen ist die Reduzierte Basis Methode. In dieser Arbeit werden zwei Erweiterungen der Methodik vorgestellt.

Zuerst wird eine Erweiterung der Reduzierte Basis Methode auf Probleme mit hoher Parameterdimension eingeführt. Dazu wird ein Algorithmus zur Konstruktion eines parameterabhängigen Approximationsraumes niedriger Dimension definiert. Dieser Algorithmus - ausgeführt während der eigentlichen Simulationsphase der Reduzierte Basis Methode, der sogenannten Online-Phase - ermöglicht deutlich kleinere reduzierte Basen als herkömmliche Ansätze und unter bestimmten Voraussetzungen werden reduzierte Laufzeiten im Vergleich zur herkömmlichen Basiskonstruktion erreicht.

Weiterhin wird die Reduzierte Basis Methode mit Ideen aus dem Bereich der Mehrskalenmethoden verknüpft. Es wird damit möglich, die Laufzeit der vorbereitenden Phase der Reduzierte Basis Methode, der sogenannten Offline-Phase, zu kontrollieren. Anhand von Anwendungen im Bereich von stationärem Wärmefluss und Mehrphasenströmungen in porösen Medien wird demonstriert, dass die entstehende neue Methode, die Lokalisierte Reduzierte Basis Mehrskalenmethode eine Verschiebung des Berechnungsaufwands zwischen den beiden Phasen der Reduzierte Basis Methode erlaubt und sich der neue Ansatz damit im Bereich von Mehrskalenproblemen anwenden lässt.

Weitere Beschleunigung der Simulation kann durch Anwendung von Mehrskalenmethoden als effiziente Löser während der Offline-Phase der Lokalisierten Reduzierte Basis Mehrskalenmethode erreicht werden. Ein Parallelisierungskonzept für diese Methoden wird eingeführt und anhand von Skalierungstests untersucht.

Abschließend werden Implementierungen dieses Parallelisierungskonzepts und der oben genannten Erweiterungen der Reduzierte Basis Methode vorgestellt.