Structure theory for cellularly stratified diagram algebras

Abstract

In this thesis, we study the structure of cellularly stratified algebras A with group algebras of symmetric groups or Hecke algebras as subalgebras of eAe, focussing on the example of partition algebras. We define analogues of permutation modules and their indecomposable summands, the Young modules, following the ideas of Hartmann and Paget. As in the case of permutation modules over group algebras of symmetric groups, we see that there is an order on the indices such that a Young module appears as a summand of a permutation module only if it has larger index. We give sufficient conditions for the induced permutation module to have a cell filtration and for the Young module to be the relative projective cover of the corresponding cell module with respect to the category of cell filtered modules. This gives a new proof for the results of Hartmann and Paget on permutation modules for Brauer algebras. Our method works in larger generality. For example, we obtain permutation modules for partition algebras with the above mentioned properties, in case that the characteristic of the ground field is large enough. In particular, we show that the restriction of a cell module of the partition algebra to a module over the group algebra of a symmetric group with smaller index admits a dual Specht filtration provided the characteristic of the field is large enough. Using results of Hartmann, Henke, König and Paget, we obtain well-defined filtration multiplicities for cell filtered modules and Schur-Weyl duality between A and End_A(Y) holds, where Y is a sum of Young modules (with multiplicities). In the final section, we study dual cell and dual permutation modules. The category of modules with both standard and costandard filtration over a quasi-hereditary algebra C has as many indecomposable modules as the number of standard modules. In comparison, the intersection of cell and dual cell filtered modules over a cellularly stratified algebra A contains in general more indecomposable modules than the number of cell modules.

In dieser Dissertation untersuchen wir die Struktur zellulär stratifizierter Algebren A, die Gruppenalgebren von symmetrischen Gruppen oder Hecke Algebren als Teilalgebren von eAe haben. Schwerpunktmäßig betrachten wir Partitionenalgebren. Wir definieren Analoga von Permutationsmoduln und ihren unzerlegbaren Summanden, den Young-Moduln, in Anlehnung an die Definition von Permutationsmoduln für Brauer Algebren von Hartmann und Paget. Wie bei Permutationsmoduln von Gruppenalgebren von symmetrischen Gruppen finden wir eine Ordnungsrelation, so dass ein Young-Modul nur dann Summand eines Permutationsmoduls ist, falls er einen größeren Index hat. Des Weiteren geben wir hinreichende Bedingungen an, wann der induzierte Permutationsmodul eine Zellfiltrierung besitzt und wann der Young-Modul relativ projektive Decke des zugehörigen Zellmoduls, in Bezug auf die Kategorie der zellfiltrierten Moduln, ist. Hierdurch ergibt sich ein neuer Beweis für die Ergebnisse von Hartmann und Paget über Permutationsmoduln von Brauer Algebren. Unsere Methode ist jedoch grundsätzlich allgemeiner anwendbar. Zum Beispiel erhalten wir Permutationsmoduln für Partitionenalgebren mit oben genannten Eigenschaften, falls die Charakteristik des zugrunde liegenden Körpers groß genug ist. Insbesondere zeigen wir, dass die Einschränkung von Zellmoduln der Partitionenalgebra zu Moduln über der Gruppenalgebra einer symmetrischen Gruppe mit kleinerem Index dual Specht-filtriert ist, vorausgesetzt die Charakteristik des Körpers ist groß genug. Basierend auf den Ergebnissen von Hartmann, Henke, König und Paget wissen wir nun, dass die Filtrierungsmultiplizitäten zellfiltrierter Moduln wohldefiniert sind und Schur-Weyl Dualität zwischen A und End_A(Y) herrscht, wobei Y eine Summe von Young-Moduln (mit Multiplizitäten) ist. Im letzten Abschnitt untersuchen wir duale Zell- und Permutationsmoduln. Die Kategorie von Moduln mit Standard- und Kostandardfiltrierungen über einer quasi-erblichen Algebra C enthält genau so viele unzerlegbare Moduln wie die Anzahl der Standardmoduln. Im Gegensatz dazu enthält die Kategorie der zell- und dual zellfiltrierten Moduln über einer zellulär stratifizierten Algebra A normalerweise mehr unzerlegbare Moduln als die Anzahl der Zellmoduln.