Interactions between universal localisations, ring epimorphisms and tilting modules

Abstract

The aim of this thesis is to study the interaction between universal localisations, ring epimorphisms and (generalised) tilting modules. We show that these concepts are intrinsically connected and that they provide various new applications to representation theory.

Universal localisations, as defined by Cohn and Schofield, have recently proven to be useful in tilting theory, a fundamental branch of representation theory. In fact, universal localisations were used to classify tilting modules over some rings and they provide interesting decompositions of the derived module category. However, both the structural properties of universal localisations as well as the nature of the various connections to tilting theory are far from being understood. Satisfying answers are only known in special cases.

One way to approach localisations is via ring epimorphisms. These are epimorphisms in the category of all rings that are relevant to study certain abelian subcategories of a given module category. Even though it is well-known that universal localisations yield ring epimorphisms, the question of which epimorphisms arise from universal localisations is still widely open.

Chapters 2-4 of this thesis provide some answers to the latter question, on the one hand, by looking at finite localisations over any ring and, on the other hand, by focusing on finite dimensional algebras. In particular, over self-injective algebras a classification of certain ring epimorphisms is accessible. We further focus on correspondences between universal localisations and tilting objects. Explicit bijections are established for certain classes of finite dimensional algebras.

Chapters 5-7 of this thesis are dedicated to the new concept of silting modules and its relation to localisations. We begin by developing a general theory of silting modules over any ring. These modules generalise tilting modules as well as support τ-tilting modules over a finite dimensional algebra and they turn out to parametrise diverse structures in the derived module category. Subsequently, we show that minimal silting modules classify all universal localisations over a hereditary ring. Also, in the general setup, we can associate a silting object to every localisation. Thus, silting theory provides an adequate setup to study universal localisations.

Die vorliegende Arbeit untersucht das Zusammenspiel von universellen Lokalisierungen, Ringepimorphismen und (verallgemeinerten) Kippmoduln. Sie verfolgt dabei das Ziel, vielfältige neue Zusammenhänge und Anwendungen dieser Konzepte in der Darstellungstheorie aufzuzeigen.

Universelle Lokalisierungen, im Sinne von Cohn und Schofield, finden seit kurzem Eingang in die Kipptheorie, einen grundlegenden Zweig der Darstellungstheorie. Sie werden genutzt, um Kippmoduln über bestimmten Ringen zu klassifizieren und sie liefern interessante Zerlegungen derivierter Modulkategorien. Aber weder die grundsätzlichen Eigenschaften dieser Lokalisierungen noch das Wesen der vielfältigen Zusammenhänge zur Kipptheorie sind ausreichend verstanden. Zufriedenstellende Antworten sind nur in Einzelfällen bekannt.

Ringepimorphismen ermöglichen es, universelle Lokalisierungen besser zu verstehen. Dabei handelt es sich um Epimorphismen in der Kategorie aller Ringe, die bestimmte abelsche Unterkategorien einer Modulkategorie klassifizieren. Universelle Lokalisierungen liefern stets Ringepimorphismen. Aber es ist bisher unklar, welche Ringepimorphismen man auf diesem Weg erhält.

Die Kapitel 2-4 dieser Arbeit beschäftigen sich mit eben dieser Frage im Kontext endlicher Lokalisierungen über beliebigen Ringen und ebenso in Bezug auf endlich dimensionale Algebren. Insbesondere für selbstinjektive Algebren ist eine Klassifikation relevanter Ringepimorphismen möglich. Zudem zeigt sich ein direkter Zusammenhang zwischen universellen Lokalisierungen und Kippmoduln. Explizite Entsprechungen werden für einige Klassen von Algebren bewiesen.

Die Kapitel 5-7 dieser Arbeit widmen sich dem neuen Konzept der silting Moduln und deren Beziehung zu Lokalisierungen. Zunächst wird die allgemeine Theorie dieser Moduln über einem beliebigen Ring entwickelt. Silting Moduln verallgemeinern sowohl Kippmoduln als auch τ-Kippmoduln über endlich dimensionalen Algebren und sie parametrisieren unterschiedliche Strukturen in der derivierten Modulkategorie. Über erblichen Ringen klassifizieren minimale silting Moduln alle universellen Lokalisierungen und im Allgemeinen kann jeder Lokalisierung ein silting Objekt zugeordnet werden. Damit liefert diese neue Theorie einen angemessenen Rahmen, um universelle Lokalisierungen zu studieren.