Phase field modeling of fracture in rubbery and glassy polymers at finite thermo-viscoelastic deformations

Abstract

The goal of this work is to provide a theoretical and computer based model for brittle and ductile fracture mechanics, which enables the modeling of complex fracture phenomena with large deformations. A central aspect of this work is to provide a comprehensive theoretical study of a phase field model of fracture and its application towards the modeling of crack initiation and growth in rubbery and glassy polymers at finite thermo-viscoelastic deformations. The other main aspects are the development of new algorithms for crack propagation and investigations towards the predictive quality of these new methods. Fracture is the partial or full separation of an object or material into two or more pieces under the influence of stress. In 1920, Griffith introduced the so-called energy release rate for brittle elastic materials which is the energy required for crack propagation and thus, created the energetic fracture criterion. Fracture mechanic models exist for the description of both sharp and diffusive crack discontinuities. Models describing sharp crack discontinuities include cohesive-zone models or configurational-force-driven models. These, however, suffer in situations with complex crack evolution. In contrast, phase field type diffusive crack approaches are smooth continuum formulations. These avoid the modeling of discontinuities and thus allow a straightforward computation of complex curved crack and fracture phenomena such as crack initiation, crack branching or crack arrest. This work presents the application of a fracture phase field model towards the modeling of crack initiation and growth in rubbery and glassy polymers at finite thermo-viscoelastic deformations. Due to their molecular structure, polymeric materials show a wide range of both, mechanical material behavior as well as fracture behavior. Rubbery polymers show highly nonlinear elasticity, characterized by the typical S-shaped uniaxial nominal stress-stretch relation. The origin of the characteristic of rubber to undergo large elastic deformations, is the ability of the coiled and entangled polymer chains to elongate and disentangle under tensile stress, such that the macromolecules align in the direction of the applied force. The complex three-dimensional structure of rubbery polymers consists of chemically crosslinked and entangled macromolecules. These take up compact, random configurations, which lead to complex viscoelastic material behavior. Thermoelastic polymers and elastomers show rate dependent material behavior. During slow deformation, the molecular segments can easily rotate and realign. Thus, the entanglements contribute little to the stiffness and the material deforms almost completely elastically. However, with increasing deformation rate, the transformations of the molecular segments can no longer keep up with the rate of defomation. Hence, the stiffness of the material increases. Macroscopic fracture of rubbery polymers is a result of the failure of the molecular network. Crack propagation takes place when molecular chains whose crosslinks lie on opposite sides of the crack plane are broken. These considerations resulted in the definition of a micromechanically motivated energy release rate, necessary for crack propagation. Crack growth in rubbery polymers is rarely brittle, but mostly a gradual tearing of the material under constant energy consumption, which strongly depends on the velocity of the crack tip. Reasons for this are dissipative effects in both the bulk material and the process zone. An increase in temperature results in an increasing polymer molecule mobility, a decrease of dissipative effects and thus a decrease of energy release rate. Amorphous glassy polymers exhibit a small range of linear elastic deformation. The strength is limited by brittle fracture, cold drawing, shear yielding or crazing. Cold drawing is characterized by a small range of linear elastic strains up to the yield point, followed by a large amount of plastic deformation during which, the stress remains almost constant. Macroscopically a stable neck spreads over the object in question within which the molecules are stretched and align in the direction of the applied force. Crazing is also termed dilatational normal stress yielding and is a plastic deformation mechanism. Crazes consist of dense arrays of fibrils separated by voids. They can grow in width and length until the fibrils break down, which eventually leads to structural failure. Shear yielding and crazing are not completely independent, nor do they exclude each other. Changing the temperature or the rate of deformation and thus modifying the mobility and reaction of the molecules, causes a change of yield stress and brittle fracture stress. Thus a transition from ductile to brittle material response can take place.

Ziel dieser Arbeit ist es, einen theoretischen und computerbasierten Zugang zur spröden und duktilen Bruchmechanik zu entwickeln, welcher die Simulation von komplexen Bruchphänomenen bei großen Verzerrungszuständen ermöglicht. Ein zentraler Aspekt dieser Arbeit ist eine umfassende theoretische Untersuchung von Rissphasenfeld-Modellen in der Bruchmechanik, im Speziellen für die Anwendung zur Beschreibung von Brüchen in gummi- und glassartigen Kunststoffen bei großenthermo-viskoelastischen Deformationen. Daneben stellt die Entwicklung neuer Algorithmen für Rissfortschritt und die Erforschung der Vorhersagekraft dieser neuen Methoden einen zentralen Aspekt dar. Unter Bruch versteht man die vollständige oder teilweise Trennung eines ursprünglich ganzen Körpers. Im Jahre 1920 legte Griffith einen ersten Grundstein für eine Bruchtheorie von Rissen, indem er die für den Rissfortschritt erforderliche Energie in die Beschreibung einführte und damit das energetische Bruchkonzept schuf. Für die Beschreibung von Bruchmechanismen existieren Modelle für sowohl scharfe, als auch unscharfe Rissdiskontinuitäten. Modelle, die scharfe Rissdiskontinuitäten beschreiben, sind unter anderem Kohäsiv-Zonen-Modelle oder Konfigurations-Adaption-Modelle, welche allerdings bei komplexer Rissentwicklung versagen. Computerorientierte Modelle mit unscharfen Rissdiskontinuitäten, sogenannte Rissphasenfeld-Modelle, ermöglichen eine direkte Berechnung von gekrümmten Rissen und Rissphänomenen wie Rissinitiierung, Rissverzweigung oder Rissarrest. Kunststoffe zeigen aufgrund ihrer molekularen Struktur ein sehr großes Spektrum an sowohl mechanischem Materialverhalten als auch Bruchverhalten. Elastomere zeigen hochgradig nichtlineares Verhalten und einen charakteristischen S-förmigen Spannungs-Dehnungs-Verlauf. Ursache der Elastizität ist überwiegend die Fähigkeit der geknäulten Polymerketten, auf eine Zugbelastung mit einer Streckung bzw. Entflechtung der Ketten zu reagieren. Die Makromoleküle richten sich bevorzugt in Richtung der Belastung aus. Der komplexe Aufbau eines Elastomers aus chemisch vernetzten und sich durchdringenden, verknäulten Makromolekülen führt zu komplexem viskoelastischem Materialverhalten. Bei kleinen Deformationsraten können sich die Moleküle leicht drehen und neu ausrichten, sodass die Verschlaufungen kaum zur Steifigkeit beitragen und sich das Material nahezu elastisch verformt. Mit steigender Deformationsgeschwindigkeit steigt auch die Materialsteifigkeit, da die Umformung der Molekülsegmente erschwert stattfindet. Die Bruchfestigkeit eines Elastomers ist ebenfalls durch die molekulare Struktur bestimmt. Um einen Riss zu erzeugen, müssen die Ketten zwischen den Vernetzungspunten gebrochen werden. Diese Überlegungen resultieren in der Bestimmung einer Rissenergie, die zur Bildung einer Rissfläche nötig ist. Das Bruchverhalten von Elastomeren ist selten spröde, sondern meistens ein zähes Auseinanderreißen des Materials, das unter ständigem Energieverbrauch erfolgt. Abhängig von der Geschwindigkeit des Risszuwachses steigt die Energieaufnahme im Bruch. Dissipative Effekte im Material im Allgemeinen sowie in der Prozesszone an der Rissspitze sind Gründe dafür. Eine Zunahme der Mobilität der Polymermokleküle mit steigender Temperatur bewirkt eine Verringerung dissipativer Effekte und somit eine Verringerung der Rissenergie. Amorphe Thermoplaste zeigen einen Bereich kleiner elastischer Verzerrungen, in dem nahezu linearelastisches Materialverhalten auftritt. Die Festigkeit wird durch Sprödbruch, Kaltverstrecken, Scherbandausbildung oder Crazing begrenzt. Unter einachsiger Zugbelastung lassen sich manche amorphe Thermoplaste kaltziehen. Nach Erreichen des Fließpunktes bleibt die Last über einen größeren Deformationsbereich nahezu konstant. Eine stabile Einschnürungszone breitet sich über die Probe aus, innerhalb derer die Moleküle gestreckt werden und sich in Richtung der Belastung zu einem Strang ausrichten. Crazing ist ein weiterer plastischer Deformationsmechanismus, welcher die Festigkeit beeinträchtigt. Crazes sind mikroskopisch kleine poröse rissartige Strukturen, bestehend aus Fibrillen und Mikroporen. Sie werden als Vorstufe einer Spannungsrissbildung in Kunststoffen betrachtet. Crazes können zu Rissen wachsen und schließlich zum Bruch des Bauteils führen. Die genannten Deformationsweisen treten nicht nur für verschiedene Polymere auf, sondern auch für ein Polymer bei unterschiedlichen Randbedingungen. Ein Übergang von duktilem zu sprödem Materialverhalten wird durch das Erhöhen der Belastungsgeschwindigkeit und das Herabsenken der Temperatur ausgelöst da durch die veränderte Mobilität der Polymermoleküle die Fließspannung über den Wert der Sprödspannung hinaus steigt.