Untersuchung der Dynamik auf der normal hyperbolisch invarianten Mannigfaltigkeit eines periodisch getriebenen Systems mit Rang-1-Sattel

Abstract

Die Theorie des Übergangszustands (engl. Transition State Theory, TST) [1–14] ist eine aktuelle Theorie zur Bestimmung von Ratenkonstanten in Systemen, bei denen zwischen zwei eindeutig festgelegten Zuständen unterschieden werden kann. Durch die Einführung einer Trennfläche (engl. Dividing Surface, DS) lässt sich der betrachtete Zustandsraum klassifizieren, wodurch sich geeignete unterteilbare Systeme untersuchen lassen, was zu vielen Anwendungsmöglichkeiten, unter anderem in Bereichen der Atomphysik, Diffusionsdynamik, Himmelsmechanik oder bei Bose-Einstein Kondensationen [15–19], geführt hat. Bei Anwendung auf die Chemie beschäftigt sich die TST mit dem Vorgang von molekularen Reaktionen und ermöglicht so über das Bestimmen des Flusses durch die im Phasenraum liegende DS das Ableiten von Ratenkonstanten. Dies gelingt durch die Definition eines Übergangszustands, also eines Zustands, der weder als Edukt noch als Produkt identifiziert werden kann. Die normal hyperbolisch invariante Mannigfaltigkeit (engl. Normally Hyperbolic Invariant Manifold, NHIM) entspricht dabei der Vereinigung dieser Zustände. Durch die Kenntnis der Dynamik der NHIM lässt sich der Phasenraum unterteilen und in diesem stattfindende Reaktionen besser quantifizieren. Damit kann unter anderem untersucht werden, unter welchen Bedingungen gewünschte Eigenschaften – beispielsweise das Beschleunigen des Reaktionsvorgangs durch äußeres Treiben des Potentials – bei einer chemischen Reaktion erreicht werden. Die grundlegende Motivation der vorliegenden Arbeit besteht darin, die Dynamik nichtlinearer Systeme, welche durch die TST beschrieben werden können, zu untersuchen, um ein besseres Verständnis für solche Systeme zu erlangen. Dadurch soll erreicht werden, die Abhängigkeit der Dynamik von Systemparametern zu bestimmen, womit sich aus den Zustandsänderungen resultierende Ratenkonstanten gezielt beeinflussen lassen können. Dies ist im Hinblick auf die Forschung sowie die industrielle Produktion von großem Interesse, da sich somit beispielsweise die Herstellung von Konsumgütern, welche oftmals auf chemischen Reaktionen basiert, verbessern lassen kann. Zur Untersuchung solcher Systeme werden Methoden aus der Theorie der nichtlinearen Dynamik verwendet. Als eines der jüngsten Forschungsgebiete der modernen Physik 51 Einleitung hat sie in vielen weiteren Bereichen, unter anderem in den Ingenieurs-, Wirtschafts- und Sozialwissenschaften, bedeutungsvolle Beiträge geleistet, da ihre Methoden sich auf Theorien, welche Differentialgleichungen mit nichtlinearen Anteilen enthalten, anwenden lassen. In der vorliegenden Arbeit soll sie zur Untersuchung der Dynamik in einem Modellsystem, welches sich eignet, um den Ablauf einer Reaktionskinetik zu beschreiben, verwendet werden. Da solche Systeme sehr komplex sein können und sich daher nur selten analytisch behandeln lassen, werden numerische Lösungsverfahren zum Approximieren der Dynamik verwendet.