Analyse kontinuumsmechanischer, anisotroper Materialparameter mikrostrukturierter Volumina mit Hilfe direkter mechanischer Simulation

Abstract

In Kapitel 1, Einleitung der folgenden Abhandlung, werden zunächst die Motivation für die durchgeführten Untersuchungen, der Stand der Technik auf dem Gebiet der kontinuumsmechanischen Materialdatenermittlung von mikrostrukturiertem bzw. im hier bearbeiteten, speziellen Fall von spongiösem Knochenmaterial sowie die Ziele der Arbeit dargelegt. Im folgenden Kapitel 2, Grundlagen, werden die mathematischen und technischen Prinzipien erläutert, die als Basis für die im Rahmen der Arbeit erfolgten Entwicklungen dienten. Hierzu zählen Grundlagen der Elastizitätstheorie, der Methode der Finiten Elemente (FEM), der multivariaten Statistik sowie die Erläuterung der Prinzipien der Computertomographie (CT). In Kapitel 3, Direkter mechanischer Ansatz zur Berechnung von elastischen Eigenschaften mikrostrukturierter Volumina, wird die Theorie der direkten mechanischen Simulation zur Bestimmung effektiver Materialparameter mikrostrukturierter Volumina auf Kontinuumsebene dargelegt. Da die von Hill entwickelte [1], klassische bzw. im folgenden als analytische Methode bezeichnete Vorgehensweise aus Sicht des Verfassers die Schwäche aufweist, dass die mit ihrer Hilfe berechneten Materialdaten von der Wahl der Randbedingungen abhängen, wird im gleichen Kapitel eine Erweiterung der Methode vorgeschlagen, die zur Berechnung der effektiven numerischen Steifigkeit mikrostrukturierter Volumina führt. Die effektive numerische Steifigkeit wird mit Hilfe der FEM abgeleitet, wodurch die entstehenden effektiven Steifigkeitseigenschaften direkt zum Einsatz mit dieser Methode geeignet sind. In Kapitel 4, Gewebeproben und Datensätze, werden die Parameter der mit Hilfe von Mikrofokus Computertomographien (μ-CT) und klinischer Computertomographie (k-CT) erhobenen Volumendatensätze angegeben. Als Basisdatensatz für die Entwicklung und erste Analyse der Implementierung sowie der, dieser Arbeit zu Grunde liegenden, Konzepte wird der μ-CT-Volumendatensatz eines menschlichen Femurkopfes verwendet. Der Femurkopf wurde im Rahmen der Implantation einer Totalhüftendoprothese in der Klinik für Unfallchirurgie und Orthopädie des Universitätsklinikum Freiburg entnommen. Der Volumendatensatz wurde nach der Entnahme durch das Institut für Bauweisen und Strukturtechnologie des Deutschen Zentrums für Luft- und Raumfahrt (DLR) Stuttgart erstellt. In diesem Kapitel werden desweiteren ausgezeichnete Bereiche des μ-CT-Datensatzes beschrieben, die im Verlauf der Arbeit zu Analysen herangezogen werden. In Kapitel 5, Implementierung, wird eine Prozesskette beschrieben, welche es ermöglicht, aus μ-CT-Datensätzen ganzer Knochenbereiche mit Hilfe direkter, mechanischer Simulation das Feld der linear elastischen Materialeigenschaften sowie das Feld der numerischen effektiven Steifigkeitsmatrizen auf Kontinuumsebene zu berechnen. Ein durch μ-CT gewonnener Datensatz kann in virtuelle Proben beliebiger Größe und Form zerlegt werden. Durch das Vorgehen ist es somit möglich, die Auflösung kontinuumsmechanischer Materialdaten entsprechend der Auflösung des verwendeten kontinuumsmechanischen Berechnungsgitters anzupassen. Als zentrales Glied der Prozesskette wird das Finite Elemente Programmsystem FMPS [2] verwendet. Die vorgelagerten Programme wie Gebietszerlegung und Geometrieextraktion sowie die nachfolgenden Berechnungen der effektiven Materialparameter wurden durch eigene Implementierungen realisiert. Im Hinblick auf die reibungslose Ausführung der Prozesskette auf den Ressourcen des High Performance Computing Center Stuttgart (HLRS) wurde ein für alle Teile der Kette gemeinsames Datenformat entwickelt, welches auch in FMPS integriert wurde. Das Datenformat zeichnet sich im wesentlichen durch die einfache Benutzbarkeit im Zusammenhang mit paralleler Ein- und Ausgabe (E/A), durch einen von den eigentlichen Daten unabhängigen Index sowie seine allgemeine Benutzbarkeit aus. In diesem Kapitel wird des weiteren die Kopplung zwischen FMPS, einem monolithischen Fortran 77 Softwarepaket mit tiefer Aufrufstruktur und der C++ Löserbibliothek PETSc [3] erläutert. Diese Entwicklung war notwendig, um auch Auflösungen der effektiven Materialparameter mit Gitterzellen größer als 2,4mm effektiv berechnen zu können. In Kapitel 6, Ergebnisse, werden die Analysen der auf unterschiedlichen Auflösungsstufen berechneten Datenfelder der effektiven Steifigkeit und deren Zusammenhang mit strukturbeschreibenden Parametern auf kontinuumsmechanischer Ebene diskutiert. Die erzeugten Felder der effektiven Steifigkeit werden mit Hilfe multivariater Methoden analysiert, und es wird gezeigt, dass eine wesentliche Reduktion deren 21-dimensionalen Parameterraumes möglich ist. Abschließend werden erste Vergleiche zwischen kontinuumsmechanischen Berechnungsergebnissen, die mit Hilfe der berechneten effektiven Steifigkeitsmatrizen erzeugt wurden, und Ergebnissen aus mikromechanischen Simulationen größerer Knochenbereiche, dargestellt und erläutert. Es wird gezeigt, dass es Zusammenhänge zwischen den Ergebnissen dieser beiden Skalen gibt und dass diese Zusammenhänge in Abhängigkeit der Porengröße der Spongiosa nichtlineares Verhalten annehmen.

In chapter 1, Einleitung of the following essay the motivation, the state of the art in the field of continuum mechanical material data determination for micro structured materials as well as the targets of the presented work are stated. The next chapter presents the basics of the mathematical and technical principles forming the foundation of the developments and derivations done in this thesis. This includes the basics of elasticity theory, the basics of the Finite Element Method (FEM), multivariate statistics as well as the basics of computed tomography (CT). In chapter 3, Direkter mechanischer Ansatz zur Berechnung von elastischen Eigenschaften mikrostrukturierter Volumina, the theory of the direct mechanics approach to determine effective material parameters of micro-structured volumes on the continuum mechanical scale is introduced. Since the classical method developed by Hill [1] has, in the opinion of the author, the drawback, that the material data calculated with this method depend upon the chosen boundary conditions, a method is presented in the same chapter, that leads to what we call the effective numerical stiffness. The effective numerical stiffness is derived based on the principles of FEM which makes the resulting effective parameters directly applicable to this method. In chapter 4, Gewebeproben und Datensätze, the parameters of the volume data sets recorded by micro-focus computed tomography (μ-CT) and clinical computed tomography (k-CT) are written down. The basis for all development and analyses done in this thesis is the μ-CT volume dataset of a human femoral head. The femoral head was extracted in the Klinik für Unfallchirurgie und Orthopädie of the University of Freiburg Medical Centre during a total hip replacement surgery. The volume dataset was recorded at the Institut für Bauweisen und Strukturtechnologie of the Deutsches Zentrum für Luft- und Raumfahrt (DLR) in Stuttgart. In this chapter the special regions of the femoral head, used for analyses in the results section, are described. In the following chapter 5, Implementierung a simulation process chain is described, which enables the calculation of the effective material parameters as well as the field of the effective numerical stiffness matrices with arbitrary resolution for complete bone structures on the basis of μ-CT volume datasets. A μ-CT data set can be decomposed in virtual specimens of arbitrary size and shape. By this approach it becomes possible to fit the resolution of the continuum mechanical material field to the one of the used simulation mesh. A central link of the process chain is the FEM software package FMPS [2]. The preceding chain links domain decomposition, geometry extraction as well as the trailing calculation of the effective material parameters are realized by custom implementations. With the focus of the implementations done in this thesis laying on the efficient execution of the process chain on the resources of the High Performance Computing Center Stuttgart (HLRS) a data format was developed which is common for all links of the process chain and that was also integrated into FMPS. The data format is essentially characterized by its easy application in connection with parallel input and output operations, its index which is independent from the data and its common usability. In this chapter it is also shown, how the coupling of FMPS, a monolithic Fortran 77 code package with deep calling stack to the C++ solver library PETSc [3] was done. This coupling was necessary to efficiently carry out the calculations of the effective material parameters on resolutions bigger than 2.4mm edge length. In the final chapter 6, Ergebnisse, the analyses carried out with the data fields of the effective stiffness, calculated on various resolutions along with their connection to the descriptive parameters on the continuum mechanical scale, are discussed. The calculated fields are analysed by means of multivariate statistical methods and it is shown, that an essential reduction of their 21-dimensional parameter space is possible. After that some first comparisons between simulation results, calculated on the continuum mechanical scale by means of the derived effective material parameters and micro-mechanical simulation results of larger regions of cancellous bone, are presented and discussed.