Effiziente Integration und verbesserte Kontaktspannungen für duale Mortar-Formulierungen

Abstract

Diese Arbeit beschäftigt sich mit Computersimulationen von Kontaktproblemen unter Verwendung der Methode der finiten Elemente. Zur Diskretisierung des Kontakts wird die Mortar-Methode eingesetzt, für welche zwei Modifikationen vorgeschlagen werden. Die erste Modifikation betrifft die numerische Berechnung der sogenannten Kontaktintegrale. Bei der zugehörigen Integration müssen im allgemeinen Fall polynomische Integranden über polygonale Flächen integriert werden. Zur Anwendung gewöhnlicher Quadraturformeln werden die Gebiete üblicherweise in dreieckige Integrationszellen unterteilt. In dieser Arbeit wird eine alternative Unterteilung in viereckige Integrationszellen vorgeschlagen, die dazu führt, dass weniger Integrationspunkte benötigt werden. Durch die in dieser Arbeit beschriebenen numerischen Experimente wird gezeigt, dass dadurch der numerische Aufwand der Integration deutlich reduziert werden kann, ohne die Integrationsgenauigkeit signifikant zu verschlechtern. Die zweite Modifikation dient der Verbesserung der Kontaktspannungen für die duale Mortar-Methode. Bei dieser Methode wird das Lagrange-Multiplikator-Feld mit dualen Formfunktionen approximiert. Daraus resultiert der Vorteil, dass die duale Mortar-Methode im Vergleich zur Standard-Mortar-Methode effizienter ist. Allerdings sind die Kontaktspannungen der dualen Mortar-Methode weniger genau als diejenigen der Standard-Mortar-Methode. In dieser Arbeit wird für die duale Mortar-Methode eine Rückrechnung der Kontaktspannungen basierend auf einer L2-Projektion vorgestellt. Numerische Experimente zeigen, dass durch die vorgeschlagene L2-Projektion die Kontaktspannungsgenauigkeit der dualen Mortar-Methode verbessert wird und vergleichbar zu derjenigen der Standard-Mortar-Methode ist.

This work deals with computer simulations of contact problems using the finite element method. Two modifications are proposed for the mortar method, which is the method applied to discretise the contact. The first modification concerns the numerical calculation of so-called contact integrals. For the corresponding integration in general cases polynomial integrands have to be integrated over polygonal areas. In order to use ordinary numerical quadratures the polygonal areas are usually subdivided into triangular integration cells. In this work an alternative subdivision into quadrilateral integration cells is suggested, which yields less integrations points. With the numerical experiments described in this work it is shown that due to this reduction the numerical effort is decreased considerably without deteriorating the accuracy of integration significantly. The second modification improves the contact stresses of the dual mortar method. This method uses dual functions to approximate the Lagrange multiplier field, yielding the advantage that the dual mortar method is more efficient than the standard mortar method. However, the contact stresses of the dual mortar method are less accurate than the contact stresses of the standard mortar method. In this work a modification of the contact stresses based on an L2 projection is presented for the dual mortar method. Numerical experiments show that with the introduced L2 projection the accuracy of the contact stress of the dual mortar method is improved and comparable to the accuracy of the standard mortar method.