Quantum Monte Carlo studies of strongly correlated systems for quantum simulators

Abstract

Many strongly correlated quantum systems are difficult to study numerically because of the exponential growth of the Hilbert space combined with the failure of numerical methods in important parameter regimes. This includes the long-standing problems of high-temperature superconductivity and frustrated magnetism. A promising solution to this dilemma are quantum simulators, well-controlled (synthetic) quantum systems, emulating model Hamiltonians not only of condensed matter systems, where parameters can be tuned at will and model complexity can be added step by step. This dissertation presents numerical simulation studies that are motivated by quantum simulators. Using large-scale quantum Monte Carlo computer simulations and mean-field theory the semiquantitative ground state phase diagram of a Penning ion trap quantum simulator, realizing a two-dimensional model of quantum magnetism with long-range interactions, is obtained. We study also thermal and quantum phase transitions in one-dimensional transverse-field Ising models with long-range interactions, which exhibit a Kosterlitz-Thouless transition and universality classes with continuously varying critical exponents. The second part of this thesis is concerned with the Fermi-Hubbard model, which has been realized recently with ultracold atoms in optical lattices, both for repulsive and attractive interactions. Equipped with a quantum gas microscope, which allows single-site single-atom detection, these experimental setups can collect histograms of the particle number from repeated projective measurements. This dissertation presents a method to compute such full counting statistics for quadratic operators such as particle number or magnetization in the framework of determinantal quantum Monte Carlo. From an analysis of the full counting statistics of the particle number for different subsystem sizes the size of preformed pairs or Cooper pairs in the attractive Hubbard model is inferred. Furthermore, excellent agreement of the numerically computed probability distribution of the staggered magnetization with a recent quantum gas experiment demonstrates that current experiments are capable of resolving the differences between the Hubbard model and its limiting Heisenberg model. An extensive method section reviews the stochastic series expansion quantum Monte Carlo method for Ising models in a transverse field, which is free of the sign problem for arbitrary interactions, with special emphasis on the efficient simulation of long-range interactions. Also a self-contained introduction to the determinantal quantum Monte Carlo method is provided.

Viele stark korrelierte Quantensysteme entziehen sich einer exakten numerischen Computersimulation aufgrund der exponentiell anwachsenden Größe des Hilbertraums verbunden mit dem Versagen effizienter numerischer Verfahren in wichtigen Parameterbereichen. Dies erschwert das theoretische Verständis ungelöster Fragestellungen der Festkörperphysik; Beispiele sind die Hochtemperatursupraleitung und der frustrierte Magnetismus. Eine Lösung des Problems versprechen sogenannte Quanten-Simulatoren, experimentelle (synthetische) Quanten-Systeme, die hochreine Modelle der Festkörperphysik mit genau kontrollierbaren Parametern realisieren können, wobei die Komplexität schrittweise erhöht werden kann. Diese Dissertation beschäftigt sich mit numerischen Simulationen, die durch Quanten-Simulatoren motiviert sind. Mithilfe großangelegter Quanten-Monte-Carlo-Simulationen sowie Molekularfeldtheorie wird das Grundzustands-Phasendiagramm kalter Ionen in einer Penningfalle bestimmt, die als Quantensimulator ein langreichweitiges Ising-Modell im transversen Feld und auf dem Dreiecksgitter realisieren. Weiterhin untersuchen wir die thermischen und Quanten-Phasenübergänge eindimensionaler Ising-Ketten im transversen Feld, welche einen Kosterlitz-Thouless-Übergang und Universalitätsklassen mit kontinuierlich variierenden kritischen Exponenten aufweisen. Der zweite Teil dieser Dissertation behandelt das Fermi-Hubbard-Modell, das gerade im mehreren Experimenten weltweit mit ultrakalten Atomen in optischen Gittern sowohl für repulsive als auch attraktive Wechselwirkungen realisiert wurde. Ein Quantengas-Mikroskop erlaubt es in diesen Experimenten, die Verteilungsfunktion der Teilchenanzahl mit Einzel-Atom-Auflösung in projektiven Messungen zu bestimmen. In dieser Arbeit wurde eine Methode entwickelt, um solche “full counting statistics” für quadratische kollektive Operatoren wie zum Beispiel die Teilchenanzahl oder Magnetisierung auf einem Subsystem mittels Determinanten-Quanten-Monte-Carlo zu berechnen. Eine Analyse der “full counting statistics” liefert Aufschluss über die Größe der Cooper-Paare oder nicht langreichweitig phasenkohärenter gebundener Zustände im attraktive Hubbard-Modell. Die ausgezeichnete Übereinstimmung der numerisch berechneten Wahrscheinlichkeitsverteilung der Néel-Magnetisierung mit Ergebnissen eines Experiments unter einem Quantengas-Mikroskop zeigt, dass gegenwärtige Experimente in der Lage sind, zwischen dem Hubbard-Modell und seinem Grenzfall für starke Wechselwirkungen, dem Heisenberg-Modell, zu unterscheiden. Ein ausführlicher Methodenteil gibt eine Übersicht über die “Stochastic Series Expansion” Quanten-Monte-Carlo-Methode für Ising-Modelle im transversen Feld, die für beliebige Wechselwirkungen kein Vorzeichenproblem aufweist, wobei die effiziente Simulation langreichweitiger Wechselwirkungen im Mittelpunkt steht. Die Determinanten-Quanten-Monte-Carlo-Methode wird ebenfalls eingeführt.