Dynamics of Genealogical Trees for Autocatalytic Branching Processes

Language
en
Document Type
Doctoral Thesis
Issue Date
2013-03-28
Issue Year
2012
Authors
Glöde, Patric Karl
Editor
Abstract

We introduce stochastic processes modelling the evolution of the genealogy and total mass of finite and infinite autocatalytic branching populations. In such populations, at any time, each of the individuals alive has an infinitesimal death rate depending on the current population size and, upon its death, produces a random number of offspring. Formally, processes take values in the space of ultrametric measure spaces equipped with the polar Gromov-weak topology. While the dynamics of discrete tree-valued processes are constructed explicitly as piecewise deterministic Markov processes, the dynamics of infinite populations are characterised by means of martingale problems. Key issues are proving well-posedness for the martingale problems and finding invariance principles linking finite and infinite populations. In fact, we show that infinite populations arise as scaling limits of large finite populations in the sense of weak convergence on path space. It turns out that there is a close relationship between the genealogies of infinite autocatalytic branching populations and the Fleming-Viot process. We also study a general class of martingale problems, to which we refer as skew product martingale problems, and prove a uniqueness result. This result is applied to the tree-valued processes studied in this thesis but it also applies to more general settings. Since total mass processes play an important role in the study of tree-valued processes a separate chapter is devoted to real-valued autocatalytic branching dynamics.

Abstract

Wir betrachten Populationen, deren Individuen sich autokatalytisch verzweigen. Zu jedem Zeitpunkt hat jedes noch lebende Individuum eine von der aktuellen Populationsgröße abhängige infinitesimale Todesrate. Bei seinem Tod hinterlässt es eine zufällige Anzahl von Nachkommen. Wir führen stochastische Prozesse ein, welche die Evolution der Genealogie und der totalen Masse endlicher und unendlicher Populationen modellieren. Formal nehmen die betrachteten Prozesse Werte im Raum der ultrametrischen Maßräume an, der mit der polaren Gromov-schwachen Topologie ausgestattet ist. Während wir die Dynamiken diskreter baumwertiger Prozesse explizit als stückweise deterministische Markov-Prozesse konstruieren, werden die Dynamiken für unendliche Populationen durch Martingalprobleme charakterisiert. Wir zeigen unter anderem, dass diese Martingalprobleme wohlgestellt sind. Wir beweisen außerdem Invarianzprinzipien, die besagen, dass sich unendliche Populationen als Skalierungslimiten großer endlicher Populationen ergeben und zwar im Sinne der schwachen Konvergenz auf dem Pfadraum. Es stellt sich heraus, dass es einen engen Zusammenhang gibt zwischen den Genealogien unendlicher autokatalytischer Verzweigungspopulationen und des Fleming-Viot-Prozesses. Neben baumwertigen autokatalytischen Verzweigungsprozessen beschäftigen wir uns auch mit einer allgemeinen Klasse von Martingalproblemen, die wir als Schiefprodukt-Martingalprobleme bezeichnen, und beweisen ein allgemeines Eindeutigkeitsresultat. Dieses wird auf konkrete Martingalprobleme aus der vorliegenden Arbeit angewandt, gilt aber auch in einem allgemeineren Kontext. Da die totale Masse-Prozesse eine wichtige Rolle bei der Analyse der baumwertigen Prozesse spielen, ist ein Kapitel dem Studium reellwertiger autokatalytischer Verzweigungsdynamiken gewidmet.

DOI
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