This thesis is concerned with the design and analysis of an interface fitted finite element strategy for the simulation of free- and moving boundary problems with sharp interfaces. The presented strategy falls into the class of interface tracking methods based on the Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) formulation. The main goal is to resolve the fundamental drawback of mesh degeneration typical of moving mesh strategies while preserving all other benefits, in particular a well-defined, accurate, and explicit representation of the moving geometry in space and time. This representation allows for a straight-forward definition and implementation of problem tailored finite element spaces. Parametric finite element spaces based on curved elements serve as the baseline of the presented approach and are introduced and discussed in the context of a prototypical elliptic interface problem. A solution to the associated problem of generating admissible, interface fitted parametrizations is presented in terms of a variational mesh optimization approach. In this approach, a mesh quality functional subject to an alignment constraint is minimized which leads to interface aligned, optimal, and non-degenerate parametrizations. For time-dependent problems, interface aligned parametrizations are constructed such that they behave smoothly in time within each time slab, while a re-parametrization taking place in between two successive time slabs is permitted. This strategy yields parametric finite element spaces that are discontinuous in time. Consequently, a discontinuous Galerkin (dG(k)) approach in time is used to construct fully discrete schemes. For the lowest order variant dG(0), an a priori error analysis is conducted to show that the proposed strategy leads to convergence rates that are sub- optimal by one order with respect to space in the worst case. A strategy to solve arising space-time systems for higher-order dG(k) methods is proposed. This strategy is based on a transformation of the space-time system into real block diagonal form, such that an efficient, preconditioned Schur complement formulation for the arising 2 × 2 blocks can be used. It is shown that the preconditioned system possesses a condition number that is uniformly bounded by 2. The last part of this thesis addresses the application of the strategy to free boundary problems. In the context of a general flow problem in the presence of an interface force, governing equations are introduced, a fully discrete space-time formulation is derived and an efficient first order in time method is proposed. Two different application scenarios, a two-phase flow example with surface tension, and a fluid-structure interaction problem are considered to validate and evaluate the proposed approach, and to show its benefits and limitations.

Gegenstand der vorliegenden Dissertationsschrift ist der Entwurf, die Analyse und Anwendung eines grenzflächenangepassten Finite-Elemente-Verfahrens zur Simulation von Problemen mit bewegten und/oder freien, scharfen Grenzflächen (sharp interfaces). Der in dieser Arbeit verfolgte Ansatz beruht auf einer Problemformulierung in bewegten Koordinaten (Arbitrary-Lagrangian-Eulerian/ALE-Methode), und kann der Gruppe der sogenannten Interface Tracking-Verfahren zugeordnet werden. Das Hauptziel des vorgestellten Verfahrens ist, die bei klassischen ALE-Ansätzen auftretende Problematik stark verformter Rechengitter zu beheben, gleichzeitig aber möglichst viele der Vorteile dieser Verfahren zu erhalten. Zu diesen Vorteilen zählt insbesondere die wohldefinierte, akkurate und explizite numerische Darstellung der Grenzfläche, welche eine problemspezifische Definition und Implementierung von angepassten Funktionenräumen ermöglicht, beziehungsweise vereinfacht. Parametrische, an die Grenzfläche angepasste Finite-Element-Räume stellen den Hauptbestandteil des Verfahrens dar, und werden zunächst im Kontext eines elliptischen Modellproblems mit einem über die Grenzfläche unstetigen Diffusionskoeffizienten eingeführt und analysiert. Die hierfür benötigten, grenzflächenangepassten Parametrisierungen werden durch einen variationellen Gitteroptimierungsansatz gewonnen. Dieser Ansatz beruht auf der Minimierung eines Qualitätsfunktionals unter einer Nebenbedingung, welche für die Grenzflächenanpassung sorgt. Die so erzeugten grenzflächenangepassten Parametrisierungen sind beweisbar zulässig sowie von optimaler Qualität. Für Probleme mit zeitlich bewegten Grenzflächen werden Parametrisierungen so definiert, dass sie auf einzelnen Teilintervallen glatt in der Zeit sind, über Intervallgrenzen hinweg jedoch unstetig sein dürfen. Diese Vorgehensweise ermöglicht eine regelmäßige Reparametrisierung der Finite- Element-Räume um der angesprochenen Problematik stark verformter Rechengitter entgegen zu wirken. Um der zeitlichen Unstetigkeit der parametrischen Finite-Element-Räume Rechnung zu tragen, wird zur Zeitdiskretisierung ein unstetiges Galerkin-Verfahren (dG(k)) vorgeschlagen. Für das entsprechende Verfahren niedrigster Ordnung, dG(0), wird eine volldiskrete a priori Fehlerabschätzung vorgestellt. Ziel ist die Untersuchung des Fehlers, der durch die notwendige, eventuell aber inexakte, Projektion der Lösung aus dem alten in den neuen Finite-Element-Raum entsteht. Für dG(k) Verfahren von höherer Ordnung wird eine Vorkonditionierungsstrategie zur Lösung der gekoppelten Raum-Zeit-Systeme aufgezeigt. Diese Strategie beruht auf der Transformation der Raum-Zeit-Systeme in reelle Blockdiagonalform, sowie der Behandlung der so entstandenen 2 × 2-Blocksysteme durch einen Schur-Komplement-Ansatz. Das schlecht konditionierte Schur- Komplement-System kann durch einen auf einer inexakten Zerlegung beruhenden Links-Rechts- Vorkonditionierer effizient gelöst werden. Die Konditionszahl des so vorkonditionierten Schur- Komplement-Operators ist durch 2 beschränkt. Der letzte Teil dieser Arbeit behandelt die Anwendung der vorgestellten Finite-Element-Strategie im Bezug auf freie Randwertprobleme. Für ein allgemein gehaltenes Strömungsproblem mit einem generischen Oberflächenkraftterm werden zunächst die maßgeblichen Gleichungen eingeführt, eine volldiskrete Raum-Zeit-Formulierung hergeleitet, und eine effiziente Lösungsstrategie erster Ordnung vorgestellt. Abschließend wird die vorgestellte Strategie anhand zweier Anwendungsbeispiele, nämlich einem Zweiphasenströmungsproblem mit Oberflächenspannung, sowie eines Fluid-Struktur-Interaktionsproblems, evaluiert.