Genericity in equivariant dynamical systems and equivariant Fuller Index theory

Abstract

In this work, we construct an equivariant Fuller Index for actions of arbitrary compact Lie groups. We follow an approach of Chow and Mallet-Paret, who constructed the ordinary Fuller Index using bifurcation theory. The crucial tools of this approach are genericity results for equivariant dynamical systems. These are based on the theory of equivariant transversality, which was developed by Bierstone and Field.

We begin with an overview over the classical results, without an acting group. Subsequently, we generalize the theory of equivariant transversality to a notion of equivariant transversality to locally semialgebraic sets. A genericity theorem in the style of Thom and Mather is proven. Based on equivariant transversality to locally semialgebraic sets, we define a notion of equivariant non-degeneracy for equivariant dynamical systems. The critical elements in this case are either fixed group orbits or relative periodic orbits. Using equivariant non-degeneracy, we prove genericity theorems for equivariant dynamical systems. Similar results can be obtained by using methods of higher order jet transversality, however the approach via equivariant non-degeneracy seems more natural and easier to handle.

With the help of the equivariant genercitiy results, we construct an equivariant Fuller Index. It is based on fixed orbit indices of equivariant Poincaré maps. Again by genericity arguments, we prove some fundamental properties of the index, as invariance under equivariant homotopies and the solution property.

In dieser Arbeit wird ein äquivarianter Fullerindex für Gruppenaktionen beliebiger kompakter Liegruppen konstruiert. Wir folgen dabei einem verzweigungstheoretischen Zugang, welcher von Chow und Mallet-Paret für den klassischen Fullerindex verwendet wurde. Entscheidende Hilfsmittel sind Generizitätsaussagen für äquivariante dynamische Systeme. Diese beruhen auf einer Theorie äquivarianter Transversalität, welche von Bierstone und Field entwickelt wurde.

Zunächst werden die klassischen Resultate ohne vorhandene Gruppenwirkung rekapituliert. Im Anschluß wird das Konzept der äquivarianten Transversalität verallgemeinert zu einem Begriff der äquivarianten Transversalität zu lokal-semialgebraischen Mengen. Ein entsprechendes Generizitätstheorem im Stile von Thom und Mather wird für diesen Fall bewiesen. Beruhend auf äquivarianter Transversalität zu lokal-semialgebraischen Mengen wird äquivariante Nichtdegeneriertheit für äquivariante diskrete und kontinuierliche dynamische Systeme definiert, wobei die kritischen Elemente in diesen Fällen Gruppenorbits beziehungsweise relative periodische Orbits sind. Mithilfe des Begriffes der äquivarianten Nichtdegeneriertheit werden Generizitätssätze für solche Systeme bewiesen. Ähnliche Resultate sind auch durch tiefere Methoden äquivarianter Verzweigungstheorie, insbesondere unter Verwendung höherer Jet-Transversalität zu erhalten. Die vorliegende Behandlung scheint jedoch kanonisch und ist einfacher zu handhaben.

Mittels der äquivarianten Generizitätssätze kann dann ein äquivarianter Fullerindex definiert werden. Dieser basiert auf den Fixorbitindizes äquivarianter Poincaréabbildungen. Ebenfalls durch Generizitätsargumente werden fundamentale Eigenschaften des Index bewiesen, wie beispielsweise Homotopieinvarianz und die fundamental Eigenschaft, dass Nichtverschwinden des Index Existenz eines relativen periodischen Orbits impliziert.