Gegenstand der Arbeit sind periodische Funktionenräume mit dominierend gemischter Glattheit vom Besov-, Triebel-Lizorkin- und Sobolev-Typ. Ausgehend von der Fourier-analytischen Definition werden verschiedene Einbettungen und äquivalente Charakterisierungen bereitgestellt. Dabei spielt insbesondere die Charakterisierung mittels Differenzen eine wichtige Rolle. Im Mittelpunkt der Untersuchungen steht allerdings die Approximation solcher Funktionen durch Abtastoperatoren basierend auf dem Smolyak-Algorithmus. Wir erhalten scharfe Abschätzungen für den Fehler, gemessen in der Lp-Metrik. Daraus gewinnen wir neue obere Schranken für das Problem der optimalen Rekonstruktion solcher Funktionen aus einer endlichen Menge von Funktionswerten.